980 Gesammtsitzung vom 16. November. 



gleichung nur ausserwesentlicli singulare Stellen hinzutreten (ausser- 

 wesentlich in dem Sinne, dass die Integrale in ihnen weder unendlich 

 werden, noch sieh verzweigen 1 ). 



Die Functionsreihen Q , Q, , . . . Q n _ x ; R , R t , . . . R n _ l , u. s. w., 

 die wir bei den auf den singulären Punkt a bezüglichen Transfor- 

 mationen anwenden, können wir nun so wählen, dass die zu allen 

 von a verschiedenen wesentlich singulare!) Stellen der transformirten 

 [ )h¥erentialgleichung gehörigen determinirendeii Fundamentalgleichun- 

 gen dieselben bleiben, wie dir zu denselben Stellen gehörigen deter- 

 minirenden Fundamentalgleichungen i'üv die Gleichung (3). 



Indem wir nun fiir alle wesentlich singulären Stellen den Trans- 

 formationsprocess ausführen, gelangen wir zu folgendem Resultat: 



Es gibt stets eine mit (1) zu derselben Classe gehörige 

 Differentialgleichung von folgender Beschaffenheit: 



Es sei a irgend ein im Endlichen gelegener wesent- 

 lich singulär er Punkt. /-,./•,.... r u diejen igen Wurzeln 

 der zugehörigen deterniinirenden Fundamental- 

 gleichung, die sieh nicht um ganze Zahlen von ein- 

 (A) ander unterscheiden. Der Comples der von r,, um 

 ganze Zahlen (Null) verschiedenen Wurzeln der- 

 selben Gleichung hat dann die Gestalt: 



r k ■> r k l > r k 2 5 • • • r k v 5 



worin v höchstens den Werth n — 1 erhalten kann. 

 Dieser Satz bildet eine Ergänzung zu einem Satze, welchen ich 

 bei früherer Gelegenheit aulgestellt habe. 2 



Sei die Differentialgleichung, welcher diese Eigenschaft zukommt: 



(17) (/y , +e 1 (x)-^ rir + e 2 (x) (ff , i2 + ... + e n (x)w = o , 



und a einer der singulären Punkte derselben, und setzen wir: 



(18) x— a = -=-, 



wodurch die Gleichung (17) in: 



d n w „ d n ~ l w 



übergeht. Wir können nach dem obigen Theorem durch die Trans- 

 formation : 



(, 9 ) W=BJQ + HA£)'~ + .. . +^._,(ö5^ , 



1 Siehe Crelle's Journal, B. 68, S. 378. 



- Siehe Sitzungsberichte 1892, S. 11 18 — 1120. 



