Fuchs: Über lineare Differentialgleichungen. 983 



Setzen wir nun: 



(8) y* = «*,i»1i + «t.alla + ..- + 0*,»»l», k=i,2,...n, 



so sind e k [i im Allgemeinen Functionen von /. 



3. 



Wir lieben nunmehr aus den Differentialgleichungen 



, v d n y d n ~ l v 



(I) S? + ^S?= J+ - +Äy==0 ' 



deren Integrale von einem Parameter / unabhängige Substitutions- 

 coefficienten besitzen, folgende Kategorie hervor: 



(a) Es sollen die Integrale derselben überall bestimmte Werthe 

 erhalten , die Coefficienten p k demnach die in Gleichung (6) voriger 

 Nummer angeführte Form haben. Hierbei sollen a li a 2 ,...a , von t 

 unabhängig sein, dagegen a = t werden. 



(b) Sei a ein beliebiger singulärer Punkt, y ein Element des 

 zugehörigen Fundamentalsystems von Integralen, r die entsprechende 

 Wurzel der determinirenden Fundamentalgleichung, so dass: 



y = (x — df <p + <p x log (x — a) + <p 2 (log (x — a)) 2 + . . . + </>,„ (log [x — a))'"\ . 



Es sollen <p , <p l , . . . (p w in der Umgebung eines willkürlichen Werthes 

 / von t nach ganzen positiven Potenzen von x — a und t—i entwickel- 

 bar sein. 



Dass es Differentialgleichungen gibt, welche den Forderungen 

 (a) und (b) Genüge leisten, dafür bieten diejenigen Differentialgleichun- 

 gen Beispiele dar, denen die Periodicitätsmoduln der AßEi/schen In- 

 tegrale Genüge leisten. 1 



Sei für ein Integral der Gleichung ( r ) : 



(2) y = (x-a)'^ + <f> l log{x— a) + f 2 (log(x -a)) 2 +. .. + </>,„ (log (# — a)) m J, 



wo a einer der Punkte a x , a 2 , . . . a , und <p Q , <p l , . . . <p m nicht sämmtlich 

 Null und nicht unendlich für einen willkürlichen Werth von t, so ist 

 nach der Voraussetzung (b): 



(3) ^ = (x - a) r [l + a, log (x-a) + ^(log (* - a)) 2 +. . . + ^(log (x - a)) m ] 



wo \|/ , -v//, , . . . \I/ m für x = a und einen willkürlichen Werth von i nicht 

 unendlich werden. 



1 Vergl. Crelle's Journal, B. 71, S. 1 18 und B. 73, S. 329; Sitzungsberichte i< 

 S. 1286; 1889, S. 713; 1890, S. 21. 



