Fuchs: Über lineare Differentialgleichungen. !)S,) 



Aus (4) ergiebt sich: 



(5) AA n _t = [e' u *], + ... e' ln v\ n , «„ *i , , B-2) + • • • ^»tf -50 , • • • «»»h + . . + e in v\ n ] 



+ * 



dt 



» »li 



(«-2) 



»li 



wo: 



(6) £ = \e n ,e n , . . . e,J . 

 Nun aber ist: 



(7) [«ii*Ii + • • • 4*1« . ^.V"" 2 ' + • • • e in Vji W_2) , • . • «„IJ, + . . . + «,„*)„] 



wo A, , A 2 , . . . A„ die Werthc der Zahlenreihe i , 2 , 3 , . . . n annehmen. 

 Es sind jedoch A, , . . . A„ von einander verschieden anzunehmen, wäh- 

 rend A, mit einer dieser Zahlen zusammenfallen kann. Bezeichnen wir 

 daher mit ^£r die Summe der Wurzeln der zu a gehörigen determini- 

 renden Fundamentalgleichung, so gehört das Product: 



zum Exponenten: 



{n -2)(n — 1) 



oder: 



(9) 





(n— i)(u — 1) 



je nachdem A, von den Zahlen der Reihe A 2 , A 3 , . . . A„ verschieden ist 

 oder mit einer derselben zusammenlallt. Andrerseits gehört A zum 

 Exponenten : 



\Ar 2) <~ 3) 



\n 



Demnach gehört: 



(10) Pi 7 1 



zum Exponenten n — 1 oder zum Exponenten r x , — t\,«4-^ — 1, je 

 nachdem A, von A 2 ,A.,,...A„ verschieden ist oder mit einer dieser 

 Zahlen zusammenfällt. 



9*1 



Da wegen der Voraussetzung (1)) Nr. 3 -~- für einen von t un- 

 abhängigen singulären Punkt a mindestens zum Exponenten i\ gehört, 

 so gehört der Ausdruck : 



8*1, 



(11) 



dt 



,*r, 



(n— 1) 



»Ji 



1 Siehe Creixe's Journal, Bd. 66, S. 145. 



