986 Gesammtsitzung vom 16. November. 



mindestens zum Exponenten n — \ und ist in der Umgebung von 

 x = a eindeutig. 



Aus der Gleichung (5) oder: 



(5 a ) 4,- =%P^ , X2 ,...*.[<*, ' «1,*. ' • ' • e i, J + ^ E > 



und aus der Erwägung, dass A n _ l eine rationale Function von x, also 

 in der Umgebung von x = a eindeutig sein soll, ergibt sich, dass 

 diejenigen Coefficienten [e[ x ,e lX ;...e l x ] verschwinden 

 müssen, für welche r yi — r Xa keine ganze Zahl ist. 



In den übrig bleibenden Gliedern sind die Differenzen r A , — r„ , 

 ihrem absoluten Werthe nach nicht grösser als n — 1, weil unsere 

 Gleichung (1) die im Theoreme (A) vorausgesetzte Beschaffenheit hat. 

 Daher gehören in den zurückbleibenden Gliedern die i\, , \ 2 , . . . \ n im 

 Allgemeinen zu positiven ganzzahligen Exponenten. Ausgenommen 

 ist ein Glied, für welches: 



(12) r Xtl —r Xta = — {n — 1) . 



Dieser Fall kann nur eintreten, wenn die determinirende Fundamental- 

 gleichung die Wurzeln r, , r, — 1 , r, — 2 , . . . r, — (n — 1 ) hat , und für 

 die Combination : 



(13) \ =1 , K = n . 

 Setzen wir in (1): 



(14) y = (x — r/) 7 ' 1 — ("~ J ) u , 



so würde die Differentialgleichung für u beim singulären Punkte a 

 die Zahlen n — i,n — 2 , . . . 1 , o als Wurzeln der determinirenden Fun- 

 damentalgleichung besitzen. Die Hauptdeterminante der Differential. 

 gleichung für u würde demnach für x = a weder Null noch unend- 

 lich. Die Coefficienten der Differentialgleichung für u würden daher 

 ebenfalls für x = a endlich bleiben, und es würde a überhaupt nicht 

 mehr singulärer Punkt sein, wenn nicht die Integrale in ihrer Ent- 

 wickelung um x = a Logarithmen enthielten. 



Denken wir uns also aus (1) solche Punkte, welche durch die 

 Substitution der Form (14) beseitigt werden können, entfernt — wo- 

 durch die Natur der Gleichung (1) nicht geändert wird — so schliessen 

 wir, dass der Fall (12) nur eintreten kann, wenn Px l9 x 2 , ... 1« loga- 

 rithmische Glieder enthält. Da aber A n _ x in der Umgebung von a 

 eindeutig sein muss, so folgt, dass der Complex der bezüglichen 

 Glieder in Gleichung (5 a ) verschwinden muss. 



Aus dem Vorhergehenden ergibt sich das Theorem: 



Die rationale Function von x , A„_, wird für die 

 (B) nicht von t abhängigen singulären Punkte Null 



mindestens erster Ordnung. 



