Fuchs: Über lineare Differentialgleichungen. 987 



Für den singulären Punkt a = t gehört -~— • mindestens zum Ex- 



o t 



ponenten r f — i. daher E mindestens zum Exponenten n — 2, es ist 



folglieh, für n > 2, A n _ t auch Null für x = t, und für n = 2 jedenfalls 



nicht unendlich. 



Für x = 00 setzen wir: 



(15) X= J' 



Alsdann ergiebt dieselbe Rechnung wie die obige, dass A H _ X P n 

 für £ = o nicht unendlich wird. 



Es ist daher A n _ { für x = 00 höchstens von der 2/i ttn Ord- 

 nung unendlich. 



Anlangend die ausserwesentlich singulären Punkte, so kann die Trans- 

 formation (6) Nr. 1 so gewählt werden, dass die Hauptdeterminante 

 der Integrale der transformirten Gleichung in den durch die Trans- 

 formation entstandenen ausserwesentlich singulären Punkten /3 nur 

 einfach versehwindet. Die auf einen solchen Punkt bezügliche deter- 

 minirende Fundamentalgleichung hat dann die Wurzeln o, 1 , 2, . . . n — 2, n. 

 Bei der Transformation (6 a ) bleiben die singulären Punkte (o und 

 die zugehörigen determinirenden Fundamentalgleichungen erhalten, 

 während neue ausserwesentlich singulare Punkte 7 eintreten, deren 

 zugehörige determinirende Fundamentalgleichungen ebenfalls die Wur- 

 zeln 0,1,2, ... n — 2, n sind. So weiter schliessend folgern wir, dass 

 wir bei unserer Gleichung (1) voraussetzen dürfen, dass zu allen ausser- 

 wesentlich singulären Punkten derselben determinirende Fundamental- 

 gleichungen mit den Wurzeln 0,1,2, ... n — i,n gehören. 



Setzen wir in Gleichung (2) für y successive y t ,y 2 , ... y n , so 

 ergiebt sich aus dem entstehenden Gleichungssystem: 



(16) \A k = Z k ., *=i,2,...(n-i), 



worin Z k eine ganze Function von //, , y 2 , . . . y n und ihren Ableitungen 



dy l dy n dy n 



nach x, und von -S—, -~ , . . . -£- und wo A die Hauptdeterminante 



dt dt dt 



von y y , y 2 , . . . y n ist. Da A für einen ausserwesentlich singulären 



Punkt nur erster Ordnung verschwindet, und da y x , y 2 , . . . y n und 



ihre Ableitungen nach x, sowie wegen der Voraussetzung (b) Nr. 3 



9w, dy dy n 



— k— , -~— , ... -?»— nicht unendlich werden, so ergibt sich, dass 

 dt dt dt 



A ,iA x , . . . A n _ , 



für einen ausserwesentlich singulären Punkt höchstens erster Ordnung 

 unendlich werden. 



