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von Gaufs über eomplexe Zahlen auf allgemeinere aus Einheitswurzeln 
gebildete algebraische Zahlen auszudehnen, ergab sich das unerwünschte 
Resultat, dafs in diesem Gebiete zwei Zahlen nieht immer einen gröfsten 
gemeinsamen Divisor besitzen, und dafs Producte unzerlegbarer Factoren 
einander gleich sein können, ohne dafs die Faetoren einzeln überein- 
stimmen. Die Gleichheit solcher Produete konnte man daher immer nur 
durch besondere Kunstgriffe beweisen, zu denen namentlich der gehörte, 
durch Substitution gewisser rationalen Zahlen für die algebraischen die 
untersuchten Gleichungen in Congruenzen zu verwandeln. Mit den Me- 
thoden, solcher Schwierigkeiten Herr zu werden, beschäftigt sich auch 
ein grolser Theil von Kronecker’s Dissertation. Heute, wo uns durch 
Kummer’s scharfsinnige Schöpfung der idealen Zahlen alle jene Räthsel 
gelöst sind, muthet uns das Studium dieser Arbeit seltsam an, etwa 
wie eine Chemie ohne die atomistische Hypothese. Besonders bemer- 
kenswerth ist der Beweis des Satzes, dafs die Anzahl der Idealelassen 
in jedem Artbereiche eine endliche ist, ein Beweis, den Kronecker 
schon früher Dirichlet mitgetheilt hatte. Im zweiten Theile behandelt 
er das Problem, für Zahlen, die aus Einheitswurzeln gebildet sind, ein 
Fundamentalsystem conjugirter Einheiten aufzustellen. Durch Anwendung 
einer interessanten symbolischen Methode führt er die Aufgabe darauf 
zurück, ein System von unendlich vielen gebrochenen algebraischen Zahlen 
einer gewissen Gattung zu bestimmen, zu dem sämmtliche ganze Zahlen 
der Gattung gehören, und das sich durch Addition und Subtraction re- 
produeirt, sowie dadurch, dafs man die Zahlen des Systems mit allen 
ganzen Zahlen der Gattung multiplicirt. Nach Dedekind’s Terminologie 
nennen wir ein solches System von Zahlen heute ein Ideal und zwar 
speciell das Reeiproke eines ganzen Ideals. Kronecker zeigt, dafs man 
immer zwei Einheiten finden kann, die mit ihren conjugirten zusammen 
ein Fundamentalsystem bilden, dafs man sie aber in besonderen Fällen 
auf eine zurückführen kann. Das zugehörige Ideal nennen wir dann heute 
ein Hauptideal, und diese Zurückführung ist immer möglich, wenn alle 
idealen Zahlen jener Gattung wirklich sind. Ein Beispiel dafür, das 
Kronecker schon früher Kummer mitgetheilt hatte, liefert die Gattung 
der aus den siebenten Wurzeln der Einheit gebildeten Zahlen. Eine be- 
sondere Erwähnung verdient es aus dem Grunde, weil Kronecker’s Name 
zum ersten Male in der mathematischen Litteratur an der Stelle einer 
