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für beliebige Gattungen algebraischer Zahlen die idealen Primfactoren zu 
definiren, und dies gelang ihm mit Hülfe der von Schönemann ausge- 
führten Theorie der höheren Congruenzen auf einem Wege, der trotz 
mancher Unvollkommenheit auch heute noch seiner Bequemlichkeit halber 
geschätzt wird. Seine Ergebnisse theilte er Kummer und Dirichlet 
1858 in einer Arbeit über die allgemeinen complexen Zahlen mit, die er 
aber nie veröffentlicht hat. Damit hatte er sich jedoch ein Werkzeug 
geschaffen, das aufser seinen nächsten wissenschaftlichen Freunden nur 
er allein kannte und zu handhaben wufste. Mit dieser mächtigen Waffe 
ausgerüstet wandte er sich dem Studium der Algebra zu, angeregt wahr- 
scheinlich durch die Veröffentlichung der Werke von Galois, die im 
Jahre 1846 in Liouville’s Journal erfolgt war. 
Der junge Gaufs hatte in der kritischen Einleitung seiner Dissertation, 
einer unerschöpflichen Fundgrube mathematischer Ideen, die Meinung aus- 
gesprochen, nach den vergeblichen Bemühungen so vieler hervorragender 
Mathematiker sei doch wenig Hoffnung, die Gleichungen höherer Grade all- 
gemein aufzulösen, und es werde mehr und mehr wahrscheinlich, dafs es eine 
solche Auflösung überhaupt nicht gäbe. Nachdem Ruffini und Abel die 
Riehtigkeit dieser Vermuthung bewiesen hatten, ergab sich für die Algebra 
das Problem, die speciellen Gleichungen zu ermitteln und zu charakterisiren, 
die sich auflösen, d. h. auf reine Gleichungen zurückführen lassen. Diese 
Eigenschaft besitzen nach Gauls die Gleichungen, auf denen die Kreis- 
theilung beruht. Den tieferen Grund dieser Erscheinung fand Abel in den 
rationalen Beziehungen zwischen ihren Wurzeln, und er behandelte aus- 
führlich die einfachste und wichtigste Classe der auflösbaren Gleichungen, 
die später von Kronecker und Jordan »Abel’sche Gleichungen« ge- 
nannt wurden. Die Betrachtung der rationalen Beziehungen zwischen den 
verschiedenen Wurzeln einer Gleichung ersetzte Galois, den Spuren von 
Lagrange und Cauchy folgend, durch die Untersuchung der Vertau- 
schungen unter den Wurzeln, die jene Beziehungen unverändert lassen, 
und ergründete so die Bedingungen für die Auflösbarkeit einer Gleichung, 
mit deren Erforschung sich auch Abel erfolgreich beschäftigt hatte. 
Das Fundament der Arbeiten von Abel und Galois bildet der von 
Gaufs in die Wissenschaft eingeführte Begriff der Irreduetibilität, der 
in so fern relativ ist, als er die Festsetzung eines bestimmten Rationalitäts- 
bereiches voraussetzt. Die Untersuchungen jener Algebraiker bezogen sich 
