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Auf die singulären Moduln der elliptischen Funetionen wurde Kron- 
eeker’s Aufmerksamkeit durch die Bemerkung von Abel gelenkt, diese 
Gröfsen schienen sieh alle durch Wurzelausziehung berechnen zu lassen. 
Nach einem Beweise dafür suchend entdeckte er eine der wunderbarsten 
Wechselbeziehungen zwischen der Analysis und der Arithmetik. Gaufs 
hatte in der fünften Seetion seines arithmetischen Meisterwerkes die Lehre 
von den binären quadratischen Formen im Zusammenhange behandelt und 
namentlich durch die Theorie der Composition bereichert. Mehr als 
zwanzig Jahre nach dem Erscheinen jenes Buches galt Dirichlet als der 
einzige, der besonders diesen Theil des Werkes vollständig bewältigt hatte. 
Nun fand Kronecker, dafs zu jedem Satze, den Gaufs über die Formen 
negativer Determinante aufgestellt hatte, ein Satz in der Theorie der 
elliptischen Funetionen mit singulärem Modul gehört. Ohne Zweifel wurde 
ihm diese interessante Entdeckung wesentlich erleichtert durch die fafs- 
lichere, für die Anwendungen geschmeidigere Form, in die Kummer 
mittelst seiner Idealtheorie die starre Compositionslehre von Gaufs um- 
gegossen hatte. 
Jeder Classe primitiver positiver quadratischer Formen entsprechen 
sechs singuläre Moduln, oder einfacher eine bestimmte Invariante und 
jeder singulären Invariante eine bestimmte Formenclasse. Ist eine UClasse 
unter einer anderen enthalten, so ist die Invariante der letzteren durch 
die der ersteren rational ausdrückbar. Die Invarianten, die den sämmtlichen 
verschiedenen primitiven Classen einer bestimmten Determinante zugehören, 
sind die Wurzeln einer algebraischen Gleichung mit rationalen Coeffieienten, 
und diese Gleichung, deren Grad der Ulassenanzahl gleich ist, ist nach 
Adjunetion der Quadratwurzel aus der Determinante eine Abel’sche. Jeder 
Formenelasse entsprieht nicht nur eine bestimmte Wurzel der Classen- 
gleiehung, sondern auch eine rationale Function, deren Werth für irgend 
eine Wurzel der Classengleichung einer andern ihrer Wurzeln gleich ist. 
Und zwar ist die Classe der letzteren Wurzel aus der CGlasse der ersteren 
und der Classe der rationalen Funetion componirt. Die von den Formen- 
classen einer Determinante gebildete Gruppe ist daher der Gruppe der 
Ulassengleichung isomorph. Adjungirt man dem Rationalitätsbereiche die 
Quadratwurzeln aus den verschiedenen Primfaetoren der Determinante, so 
zerfällt die Classengleichung in Faetoren gleichen Grades, deren jeder für 
die Invarianten der Classen eines Formengeschlechtes verschwindet. Wendet 
