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erregte und eine umfangreiche Litteratur hervorrief. Setzt man in der 
Modulargleichung den transformirten Modul dem ursprünglichen gleich, 
so erhält man eine Gleichung mit einer Unbekannten, die das Product 
mehrerer Classengleichungen ist, jede zu einer Potenz erhoben, deren Ex- 
ponent gleich der Anzahl der Darstellungen des Transformationsgrades 
durch die Hauptform der betreffenden Determinante ist. Durch Berech- 
nung des Grades jener Gleichung und ähnlich erhaltener Gleichungen 
gelangte Kronecker daher zu linearen Relationen zwischen den Anzahlen 
der Classen verschiedener Determinanten, deren Werthe eine arithmetische 
Progression zweiter Ordnung bilden, Relationen, die auch merkwürdig sind 
durch die in ihnen auftretenden neuen zahlentheoretischen Functionen, 
wie z. B. die Summe der Divisoren einer Zahl, die gröfser sind als ihre 
Quadratwurzel.e. Die Theorie der elliptischen Functionen führt so zu 
Formeln für die Berechnung der Classenanzahl, so verschieden von den 
berühmten Resultaten von Dirichlet, dafs es noch nicht gelungen ist, 
die beiden Ergebnisse auf einander zurückzuführen. Mit ihrer Hülfe konnte 
Kronecker Summen von Potenzreihen, deren Coeffieienten von Classen- 
anzahlen abhängen, durch elliptische Funetionen ausdrücken. Für diese 
interessanten Relationen fand Hermite einen neuen Beweis, indem er den 
Begriff der Classe durch den der reducirten Form ersetzte. Anderer- 
seits suchte Kronecker die Classenzahlrelationen auf rein arithmetischem 
Wege zu beweisen. Denn gerade das Wunderbare, das den mit Hülfe 
der Analysis erlangten Resultaten anhaftet, betrachtete er als einen Finger- 
zeig dafür, dafs die natürliche Quelle der Erkenntnifs noch nicht gefunden 
war. Die Formeln, in denen die oben erwähnten zahlentheoretischen 
Funetionen nicht vorkommen, erhielt er sehr einfach durch Vergleichung 
der bekannten Anzahlen der Darstellungen einer Zahl durch eine Summe 
von drei und von vier Quadraten. Zu den anderen Relationen aber führte 
ihn schliefslich die Einsicht, dafs die in ihnen auftretenden Summen 
von Classenzahlen auch die Bedeutung von Classenzahlen haben für 
bilineare Formen von zwei Reihen von je zwei Variabeln, falls man die 
Substitutionscoeffieienten passend gewählten Congruenzbedingungen nach 
dem Modul 2 unterwirft. Die Verallgemeinerung der Unterscheidung von 
Gaufs zwischen eigentlicher und uneigentlicher Aequivalenz war immer 
eine seiner Lieblingsideen, und er hat es Eisenstein stets zum Vorwurfe 
gemacht, in der Theorie der quadratischen Formen mehrerer Variabeln 
