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Sur une expression simple 

 du reste daus la formule d'interpolation de Newton. 



Par 



J.-L.-W.-V. Jensen. 



Jjn se restreignant aiix fonctions et aux variables reelles, il est 

 aisé de trouver une expression simple et elegante pour le reste 

 dans la formule générale d'interpolation due a Newton ^) et 

 retrouvée par Lagrange sous une forme différente de celle de 

 Newton, mais au fond équivalente. 



Soient, en effet, F[x) une fonction reelle d'une variable 

 reelle x et g{x) la fonction entiére et rationnelle du degré n, 

 qui devient egale a F{x) pour (n -|"1) différentes valeurs de x: 



g{x^] = nr-,), V = O, I, ...n, 

 et supposons que la constante A soit déterminée de facon a 

 satisfaire a l'équation 



F(x') —g[x'] =. A [x'—x^] [x'—x^]. . . [x'—Xn), [a] 



x' étant constante et différente de x^^^ .r,, . . . .r„. 



Posons 

 f[x) = F[x) ~ g[x) — A[x — x^) [x — X ^) . . . {x — x^ 

 et supposons que F[x] ait des dérivées continues et bien déter- 

 minées jusqu'a la (/i + l)'^"® dans un intervalle enfermant les 

 quantités x^^ . . . Xn et x' ^ f(x) jouit done évidemment des 

 mémes propriétés, et Ton a par differentiation 



/f«+i)(a') = F("+^Ux] — A{7i-\-l)l. 



*) Principia, Lib. III, Lemma V. 



