Sur le reste dans la lorimilo d'interpolation. 247 



Comme f{a;) devient zéro pour (?* -f 2) dincrentes valeurs 

 de x: a;„, . . . a'„ et x', il existe, d'aprés le théoréme généi'alisé 

 de Rolle, au molns iine quantité æ", intermédialre h la plus 

 grande et a la plus petite de ces valeurs, pour laquelle on a 



/(»+i)(A-") = F(»+'^(æ") — A{n+l]\ = O, 

 d'ou vient, en tirant A de cette équation et en la substituant 

 dans (a), 



F{.v') = f/i^) + i^("+i)(./') (^'—_^A^^'—^^^- • • (^' — ^^^ 



(n 4- 1 ) ! 



1. La belle formule que nous venons de démontrer, n'est 

 pas nouvelle ^) , quoiqu'elle semble peu connue. En cbercbant 

 a rétendre aux variables complexes, on va rencontrer des diffi- 

 cultés, parce que le tbéoréme de Rolle ne reste point applicable 

 aux variables complexes. Or, M. Darboux-) a démontré que 

 le reste dans la formule de Taylor 



Bn = F(z)-Fiz,) -F'[z,) '^'--. . . -F(^){z,) *^^^ (^) 



peut s'exprimer par la formule suivante 



R, = XF^'^^^){z, + 6[z-z,))^^^^^, 



valable aussi pour les fonctions complexes ayant des dérivées 

 le long de la droite allant de z^ l\ z^ Å étant une quantité 

 imaginaire dont le module ne dépasse pas Tunité, et 8 désignant 

 un nombre reel compris entre zéro et l'unité. 



On peut donner a l'éqnation (/?) une autre forme identique 

 mais pour ainsi dire condensée : 



_ {z-2,n' 6- F (z)-F{z,) 

 '^~ n! dzl'^' z-z, ' "^^0, 



ce que Fon vérifie en développant le deuxiéme membre par la 

 formule de Leibniz pour la differentiation d"un produit. 



M Voir le Traité d'Analyse de M. H. Laurent, t. I, p. 75, 104, 107. A 

 l'endroit cité, la formule générale d'interpolation est attribuée å Ampere. 



-) Sur les développements en serie des fonctions d'une seule variable. 

 Journal de Mathémaliques pures et appliquées, 3^ Serie, t. II, p. 291. 



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