Sur le restc iliins la Idiiimle (liiiteiiiolalion. 241) 



Ces definitions données. nons allons jiislifier la formule 

 suivante 



^o+^. + ---^^» = 1. 

 oii toutes les d sont des nombres positifs plus petits que 

 Tnnité, et oii / designe comme plus haut une quantité dont le 

 module est moindre que Tunité. Ici nous supposons que la 

 fonction F(z) reste réguliére (holomorphe) dans un domaine 

 limité par une courbe convexe qui enferme tous les points 

 ^0, z^. ...Zn, car ^0 ^0+ ^1 -1+ ••• + ^»•'n représente un point 

 a rintérieur ou sur la circonférence du plus petit polygone 

 convexe ayaut pour sommets ceux des points ^q, . . . z„ qui ne 

 tombent pas a lintérieur du polygone^). 



La formule (2) est évidemment correcte pour ?i = 1 , car 

 on trouve selon la formule de i\I. Darboux 



drF(z,) = ^ihhzp^ ^ AF'{d,z,^8,z,), ^0+^1= I- 



Supposons done que (2) soit correcte pour un certain n, 

 il est aisé de voir qu'elle le sera encore pour [n + 1). On a, 

 en effet, 



0„+l 0„ . . . Ol • F[z^y) = 0„ . . . Ol 0„+i • F(Zfy] 



- ri ri ^'~^" + '' - ^<~0) 



Un •••Ol' 



expression qui, par hypothése, est egale a 

 /^ 6^ / F(z„+i)~F(z^) \ 

 n\ dz:\ z„+,-z^ ) ' 



"0*0 i" •••-!- tfnZn 



'] Du reste 011 voit sans trop de peine que nous pouvons nous restreindre 

 h supposer, 1 " que la fonction reste réguliére a l'intérieur du polygone 

 en question , 2" qu'elle ait une dérivée ()i + l)'éme unique et continue 

 en tout point situé sur la circonférence ou aux sommets du polygone, 

 cette dérivée étant en méme temps dirigée vers l'intérieur ou le long 

 de la circonférence, et 3'^ que pour un point intérieur se mouvant vers 

 les limites du polygone, la dérivée (« -p D'eme tend uniformément vers 

 sa limite. 



