Sur le rcslc dans In toniuile tl'iiileriiolalioii. 251 



et ainsi de suite. En general on tronve 



, F[z)-F{z,) 



[z—z,,) ... iZ — Zn)o„ ...Ol = 



Z — Zq 



F{z)-F[z^)-[z-z,)dr^^z,)----{'--^~o)--{z-^n)dn..rh'F(z^), (3) 

 dont le deuxiéme menibre est précisément le reste dans la for- 

 mule d'interpolation. 



En supposant que F{z] reste réguliére dans un domaine 

 mliité par une courbe convexe enfermant les points 2, z,,? ■■■^n. 

 nous pouvons exprimer ainsi le premier membre de (3): 



[Z — Zq) ...{z — 2« o„ ... o 1 



z — z^ 



= ;. ^'~?*i;!l~^^"' ^^"-^^^ (^0^0+... + Bn Zr. + ^« + i Z) , (4) 



(n +1): 



6 Q -{-... -\- dn ^ Bn+i = 1 , 



ce que Ton voit inimédiatement en remplacant, dans Téquation 

 (2), n par (n + 1) et ~„-|-i par z. 



Ainsi se trouve établie la formule générale que nous nous 

 sommes propose de démontrer, et qui donne en un seul terme 

 l'expression du reste dans la serie d'interpolation de Newton. 



4. Une autre méthode va nous conduire au méme resultat. 

 On a en effet 



åp-F{z„) = {F'{tz^+(\-t]Zp)dt, 

 ♦'o 

 et par suite 



d^Fiz,) ^iF'-{t,z,+ {l-t,)z,)dt,, 

 ••'o 

 et 



d.,d,-F{z^) = {dtÅF"{titz^+ti{l — t)z^ + {i — t,)zi)t,dt 



^0 ''o 



= [dtÅdt.,F"{t.^z, + (t,-t^)z,-\-i\-t,)z,). 

 •'o »o 



En continuant ainsi on trouve 



0„...^l • F{Zq) = 



\dtAdU...\dt„F(''^t„z^+(t„^i-t,,)z„ -{-... 4- {t,-t,,)z^-^{\-ti)z,), 



Jq »'o •'o 



car en effectuant sur les deux membres Topération o«+i, et en 



