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depuis ArchimédeM formuler exactement le probléme de 

 trouver la quantité que nous representens par lim. 2'^Jir, et 

 Ton savait s'assurer par la méthode d'exhaiistion, inventée par 

 Eudoxe, qu'un resultat trouvé répondait bien a la question 

 proposée. Le produit yAx se représente par le rectangle de 

 cotés y et Ax. Les Ax devant étre les parties d'un segment 

 de droite, la juxtaposition des rectangles et la diminution a 

 rinfmi des parties Ax conduisent immédiatement a representer 

 Tintégrale par l'aire comprise entre l'axe des abscisses , les 

 ordonnées x ^= a el x = b et la courbe y=f{x). 



Cependant l'usage general de cette aire pour representer 

 les intégrales ne remonte pas jusqu'a Arcbiméde. Ce grand 

 géométre se servait d'une représentation plus analytique des 



formules 



1 



•'0 -^ •'o ^ 



x'^. 



11 avait en elVet recours a Texpression de la somme et a celle 

 de la somme des carrés des premiers nombres entiers. 11 en 

 déduit que 



// + 2// + . . . + ('^^ — 1)// < Y // < A + 2// + . . . + nh , 



et il sait tirer de ces formules, dont il représente géométrique- 

 ment les termes, le méme profit que nous tirons des integra- 

 tions citées. La diversité des applications qu'il en fait, par 

 exemple a la quadratnre des spirales et a la cubature de seg- 

 ments de surfaces du second ordre, nous montre qu'il voit bien 



') Je lenvoie a eet égard au 20^ cliapitie de mon traité des sections co- 

 niques de l'antiquité, publié d'abord en danois dans les Mémoires de 

 VAcadémie Royale des Sciences et des Lettres de Danemark, section 

 des Sciences, 6" serie t. III, el ensuite en allemand (traduit par M. v. Fi- 

 scher Benzon) sous le titre: Die Lehre von den Kepelschniiten im 

 Altertum, Copenhague 1S8G (Host & fils). 



