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H.-G. Zeuthen. 



segments (.r) contenus dans le triangie a toutes les puissances 

 du méme degré des segments (a) interceptés sur les mémes 



droites par les cotés opposes du carré. 



Celte maniére d'exprimer le rapport de 



l'intégrale y^x'^ilx a «'"+' rappelle un peu 



l'emploi qu'Archiméde fait d'ime pro- 

 gression arithmétique pour evaluer la méme 

 integrals dans le cas ou m = 1 ou 2. Quant 

 a la rigueur, elle le céde de beauconp a celle d'Archiméde; 

 mais en appliquant sa méthode d'une maniére correcte aux cas 

 de m = i, 2, 3, 4, Cavalieri en montre l'utilité généraie. 

 En y remplacant les pnissances des segments x par une fonc- 

 tion quelconque de x^ on aurait une représentation généraie 

 d'une intégrale. 



Cavalieri reconnalt aussi tres bien la diversité des appli- 

 cations qu'on peut faire des intégrales qu'il a trouvées. 11 ap- 



plique par exemple son expression de l'intégrale \x'^dx a la 



»'o 

 qnadrature de la parabole du second degré , a la cubature des 



cones, et a une noiivelie quadrature de la spirale d'Archi- 

 méde, sur laquelle nous anrons lieu de revenir. 



La premiere de ces applications et les applications ana- 

 logues des antres intégrales ([u'il obtient font ressorlir claire- 

 ment l'identité des questions qui l'occupent avec les recherches 

 sur la quadrature des paraboles et hyperboles de différents 

 ordres qui commencent a la méme époque d'occuper les plus 

 éminents géométres. Ces recherches ont laissé des traces 

 dans nos cours actuels. On y rencontre, comme premiere 

 application des intégrales définies , les quadratures de ces 

 conrbes, visiblement délinies en vue de cette application, L'im- 

 portance qu'ont ene ces courbes résnlte du fait qu'originaire- 

 ment leur quadrature était la forme sous laquelle on cherchait 

 a obtenir la valeur des intégrales \x''^<lx ^ m étant positif ou 



