Noles sur l'liistoire des uiathénialiques, IV. 43 



n in 4- 1 1 



2»? = -■ -^ 



V 



"2 '2.3 



w(w + l)(w4-2) _^ ? M^^ + l)(v< + 2)(>?-f-3i 

 2T3 2 . 3.4 



Une fois trouvée , cette régle est tres facile a vérifier 

 a posteriorL Elle conduit presqiie immédiatement a des for- 

 mules réciirrentes servant a determiner successivement les 

 différentes sommes 2'v^'". Oii est done en etat de reconstriiire 

 d'apres la communication de Fermat la méthode dont il se 

 servait pour obtenir l'aire des paraboles de tous les degrés 

 entiers. Dilférente de celles dont se servait Archiméde pour 

 la parabole simple , elle est une extension des procédés qu'il 

 employait ailleurs pour trouver les intégrales yxdx et yr-dx. 



L'indication de Fermat nous garantit done que, pour des 

 Valeurs entiéres et positives de niy il était des 1636 en possession 



d'une demonstration compléte de la formule \ x"'dx == ; 



' Jo m + 1 



cependanl ses allusions n'étaient pas alors aussi faciles a saisir 

 qu'elles le seraient aujourd'hui. Du moins, un géométre aussi 

 habile que Rober val ne parvient-il, dans une lettre perdue M 

 du 27 novembre , a établir que les expressions de ^ji^ et de 

 ' 2n^, et cela d'une maniére que Fermat, dans sa réponse du 

 16 décembre''^), ne trouve pas bien propre a suggerer une 

 régle générale. Ce premier procédé de Fermat pour carrer 

 les paraboles de degrés entiers resta inconnu aux géométres 

 de Paris. Ceci résulte du fait que Pascal, qui en 1654 re- 

 trouva la proposition sur la formation des nombres figurés, a 



M Cette lettre est-elle rcelienieiit peidue ou bien paiaitra-t-elle dans un 

 des volumes ottendus de la nouveile edition des (Etirres de Fermat? 

 *) Varia Opera, p. 148. 



