iNotes sur lliistoire des niatliématiques, 4 o 



Valeurs fractionnaires ou negatives d'une formule démontrée 

 seulement pour des valeurs entiéres et positives. 



Il est done presque certain que Fermat possédait en 

 1644 une demonstration des quadratures de toutes les paraboles. 

 Serait-ce celle qn'il donne dans son Mémoire: DeÆquationmn 

 localimn transmutatmie et emendatione ad nmltimodam curvili- 

 neorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui anneditnr 

 proportionis geometricæ in quadrandis infinitis parabofis et 

 hi/perbolls ksks M , dont la rédaction definitive n'a été faite 

 qu'aprés 1657-)? On sait que dans le méme Mémoire Fermat 

 applique une méthode semblable a la quadrature exacte des 

 hyperboles d'un degré quelconque , notion qu'il introduit au 

 commencement de ce Mémoire, tandis que Wallis avait déjii 

 essayé de trouver les resultats des integrations en question par 

 une induction semblable a celle dont dépend sa quadrature des 

 paraboles de degré fractionnaire. 



La mélbode originale pour obtenir et démontrer exactement 

 les quadratures de toutes les paraboles et de toutes les hyperboles 

 qu'on trouve dans le Mémoire de Fermat que nous venons 

 de citer est trop connue pour qu'il soit nécessaire d'en rendre 

 compte en détail. Cependant, comme on n'en a pas toujours 

 reconnu toute la simplicité et l'exactitude ^), il ne sera pas 

 superfin d'en rappeler les principes. 



Fermat commence par rappeler que dans ses integrations 

 Archiméde fait usage de progressions arithmétiques. C'est 

 ce qu'il a fait en fondant ses determinations de \^xdx et \x^dx 

 sur les expressions de la somme et de la somme des carrés 

 des nombres naturels, méthode que Fermat avait généralisée. 



^) Varia Opera p. 44— 62; (Euvres I, p. 25a— 2S5. 



2) Voir la citation de la Ctirva Schotenii. Varia Opera p. 53, CEiwres 



p. 276. 

 ^) C an tor écrit t. IL p. 793: Es låsst sich nicht verlcennen , dass die Art, 



in welctier Fermat mit naliezu gleiclieu Elementen umspringt, eine 



setir IciiJine ist. 



