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comme noiis l'avons déja vn. C'est seulement la qiiadrature 



de la parabole ordinaire qu" A rch iméde raméne a la somma- 



Uon d'une progression géométrique ; mais cette quadratiire 

 n'est pas une integration. 



De son coté , Fermat fait dépendre, dans sa qiiadrature 



des paraboles générales, la determination de Tintégrale yx'^dx 



de la sommation d'nne progression géométrique. 11 obtient 

 cette intégrale en n'attribuant pas aux Jx^ dans la somme 

 I!x'"Jx, dont elle est la valeur limite, des valeurs égales entre 

 elles, mais en choisissant ces valeurs de maniére que les ter- 

 mes de la somme , en nombre infini , forment une progression 

 géométrique décroissante. Fermat rappelle Texpression exacte 

 de la, somme d'une telle progression. 



Nous commencerons ici par sa quadrature des paraboles 



de degré fractionnaire , m = — ; elle comprend évidemment 



celle des paraboles de degré entier, dont Fermat avait depuis 

 longtemps trouvé le resultat d'une autre maniére. Fermat 



décompose l'aire représentée par l'intégrale \x^dx en des 



»'o 



bandes limitées par les ordonnées correspondant aux abscisses 

 suivanles : 



La raison constante a étant ■< 1 , ces abscisses décroissent 

 indéfiniment, jusqu'a zéro. Les bandes en question auront 

 pour bases les dilTérences Åx de ces abscisses, ou bien 



(I — a]x ^ a ( 1 ^ «) J? , a^ ( I — «) o; , . . . , 



et pour hauteurs les ordonnées de la parabole tj ^ j; ? ^) : 



p p p 2p p 



x^ , a^ x^ , a^ x^ , ... 



^) Le parametre n'étant (luun facteur constant des elements de l'intégrale, 

 je le suppose egal al. 



