Notes sur rhistoirc iles niathpniatiqiies, IV. 47 



En substituant au\ bandes les rectangles yJx., on n'aiira 

 qn'a trouver la somme de la progression géométriqiie 



{\—a]x 1 , (I— a)a ' x ' , (1 — ala" " .r ^ , ... 



Elle est egale a 



1-« '-^ 



1 — a ? 

 Pour rédiiire cette somme de rectangles a l'aire paraboliqiie 

 clierchée, il faut chercher la valeur limite que prend cette 

 somme dans le cas de bandes infiniment étroites . c'est-a-dire 

 pour a= \. A eet elTet Fermat remplace, a la maniére des 

 anciens, l'extraction de la racine q'^""^ de a par r/^1 moyennes 

 géométriques, ce qiii équivaiit a remplacer a par /9'. Alors 



\ —a _ 1-/9^ _ (I— /9)( 14-/94-/9^+ •• -jt/L'rl 



I — a * 

 expression dont la valeur limite pour /9 == 1 est évidemment 



egale a — f- M- 



Pour obtenir la quadrature analogue des hyperboles — par 

 OU commence le mémoire cité de Fermat — il suffit de limiter 



Sdx 

 — 

 .r 



par les ordonnées correspondant aux abscisses, en nombre infini, 



X , a .c , ar .c , . ■ • , 



Ax 

 a étant > 1. Les rectangles -^ formeront alors une progres- 



') Les segments TS, SE, ER, MV, VB, quæ inter se, propter nostram 

 methodnm logarithmicam, censentur cequalia (CEJuvres I, p. 265; Varia 

 Opera p. 4S) , ont piccisément, si l'on fait usage de nos notations, les 

 valeurs 



xn-ii)^\ x(\-i3)i3\ x(l-f3),3\ x(t-fi)i3, x{l-pl). 



L'égalité des valeurs limites qu'ilsprennent pour /5 = 1 est done bien 

 établie. 



