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rons d'importants exerriples de ces réductions, et la place qu'il 

 leur donne dans le titre de son mémoire montre qu'il voit 

 clairement Tiniportance de ces réductions et des méthodes qui 

 Ty conduisent. 



Parmi ces méthodes nous n'avons pas besoin d'insister 

 sur celle qui correspond a la décomposition suivante d'une 

 intégrale: 



S'y 1 -f y-j + ^3 + . . .) dx = \y^dx -f- \ij.,dx -f \y^dæ + . . . 



Déja Archiméde savait s'en servir dans sa cubature des 

 hyperboloides. Nous en venons tout de suite aux integrations 

 par parties, procédé dont Fermat fait un large emploi en y 

 joignant un usage plus limité de 1' integration par sub- 

 stitution M. 



Commencons par considérer la forme de ses integrations 

 par parties. Il y parvient par une simple interversion des deux 

 coordonnées. Soit h. determiner une aire limitée par les deux 

 axes coordonnés et par une courbe dont nous écrivons 

 Téquation y == <p{x)^ et désignons par « et 5 , respectivement, 

 l'abscisse de son point d'intersection avec Taxe des æ et l'or- 

 donnée de son point d'intersection avec l'axe des y. On sup- 

 pose de plus que dans l'intervalle de ces deux points les y 

 décroissent en méme temps que les x croissent. En égalant 

 les deux expressions de cette aire, on aura 



na nh 



\ydx = \xdy. (1) 



^■0 'o 



On obtient done la méme réduclion des intégrales que celle 



qui résulterait d'une integration par parties, et on obtiendrait la 



formule qui exprime complétement cette operation par un autre 



choix des limites ou des axes coordonnés. Fermat nous 



montre, a l'occasion du premier exemple oii il en a besoin^ qu'il 



sait obtenir les mémes avantages. par une décomposition des 



1) (Eurres p. 271 et s.; Varia Opera p. 51 et s. 



