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axe coordonné on représenterait par léquation z ^= y. Alors 

 le vohinie moitié de celui que représente Tintégrale \ y'^d.v 



sera egal a \ zædy = \ yxdy, ce qu'il fallait démontrer. 



•^^0 »'o 



Pour avoir de cette déduction une generalisation simple et 

 pouvant étre attribuée å Fermat, qiii avait carré les paraboles 

 de tous les degrés , il suffit d'y substituer z = y"^^ h z ^= y. 



ny na 



Alors y^ ou l'aire yz est ■}i fois l'aire \zdy^ et le volume yj^dæ 



\ *'o 



devient n fois le volume qu'en intervertissant les deux axes 



coordonnés on peut exprimer par l'intégrale \ xzdy ou par 



yy^-^xdy. 

 •'o 



Une chose contribue encore a rendre vraisemblable que, 



pour parvenir au resultat exprimé par la formule (2)', Fermat 



a bien suivi cette voie , que nous avons jugée étre la plus 



conforme a ses courtes indications: c'est Tidentité de cette 



demonstration avec celle qu'a donnée Pascal du premier 



Lemme génércd de son Traité des trilignes rectanghs et de 



leurs onglets (1659). Ce lemme est la generalisation du tbéo- 



réme de Fermat qu'on obtient én ne se bornant pas, dans la 



déduction que nous lui avons attribuée , au cas oii z = y"~\ 



mais en y substituant une fonction quelconque de y. Avec nos 



notations ce lemme s'écrirait 



nb na ny 



\zxdy = \dx\zdy ^ 



•'o '■O *0 



oii y el z sont des fonctions quelconques de x et ?/, représentées 



par des courbes; Tintégrale \-^i/ est représentée par une 



«-'o 



au'e 



V) Pascal: (Euvres , edition de 1779, t. V, p. 276; edition de 1872, III, 

 p. 385. MM. Maximilien Marie et Cantor, dans lems tiavaux his- 

 toriques, rendent tres bien compte de ce lemme; le premier auteur 

 parle aussi des importantes applications qu'en fait Pascal; mais ils 



