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t = A'«/"~^ (OU t = ?/") , réquation t =(p{y) qii'on obtienl par 

 rélimination de x et z représentera une nouvelle courbe car- 

 rable. L'application de ce procédé peut étre repétée un nombre 

 illimilé de fois. Fermat sait ainsi déduire d'une seule qua- 

 drature (ou integration) connue un nombre illimité de quadra- 

 tures. A coté de ces procédés synthétiques, qui conduisent 

 å de nouvelles quadratures, il applique inversement une méthode 

 analytique a la recherche de la quadrature de courbes données 

 (integration de fonctions données). A eet eft'el il fait subir a la 

 courbe z = ^(^), dont la quadrature i\zdæ) est inconnue, une 

 serie de transformations analogues a celles dont nous venons de 

 rendre compte, jusqu'a ce qu'il trouve soit une courbe carrable 

 algébriquement, soit une courbe, telle que le cercle, dont la 

 quadrature peut étre regardée comme connue. 



Telle est la métbode générale de Fermat. Il donne 

 expressément les applications qu'il en fait comme des exemples. 

 Ces exemples servent toutefois a nous montrer l'étendue du 

 domaine dans lequel Fermat a su utiliser sa métbode. 



Pour bien comprendre le cboix des substitutions qu'il 

 applique å cbaque exemple, il faut bien remarquer les bornes 

 dans lesquelles ses métbodes sont enfermées , en comparaison 

 de celles dont nous disposons ii present, et les difficultés 

 particuliéres qui en résultent pour lui. Ses substitutions 

 servent toujours a introduire une nouvelle variable dépendante 

 dans la fouction a integrer; mais elles ne portent pas sur la 

 variable indépendante de l'intégrale. 11 n'en peut étre autre- 

 ment, parce qu'en transformant la variable x de l'intégrale '\z(L%' 

 il faudrait savoir y introduire la nouvelle valeur de la differen- 

 tielle dx. Seulement, dans la formule fondamentale (2) oii 

 ,r = «/'', il a SU surmonter cette difficulté, non pas a cause de 

 sa connaissance de la differentielle d{if), mais a cause de sa 

 connaissance de la quadrature {»/""klij, ce que nous avons déja 

 montre. La substitution x = (p[t,y)^ servant ;i remplacer la va- 

 riable indépendante x d'une intégrale de la forme {ifdx par 



