Notes sur l'histoire des niathématiques, IV. 55 



une nouvelle variable t , doit done toujours étre précédée 

 d'une integration par parties, de facon que la substitution s'ap- 

 plique a l'intégrale \^xtf-hly oii x n'est plus variable indépen- 

 dante. 



Dans le premier des exemples que donne Fermat, les 

 aires dont il parle sont limitées par les axes coordonnés ; nous 

 pourrons done les designer par des intégrales définies. Comme, 

 dans la plupart des autres exemples, la transformation des limites 

 demanderait des indieations particuliéres, et que Fermat n'en 

 donne aucune, nous devons traduire ses quadratures par des 

 integrations indéflnies; mais — a une seule exception pres — 

 Fermat se borne a montrer la possibilité de résoudre ees 

 questions plus générales que ne le serait Tévaluation d'inté- 

 grales définies par des limites simples. 



Dans les trois premiers exemples. Fermat suppose con- 

 nues des intégrales de la forme \i/"(Lv et en déduit des inté- 

 grales de la forme \ccij"~^dy. 



1°. Si ij- = «- — Æ'2, on trouve immédiatemenl l'intégrale 



r C" 



\ifdx. La formule (2) montre que \xijdy en est la moitie. 



Fermat sait done trouver \Va- — y'-ydy^ ou bien, comme il le 

 dit en évitant les irrationnelles, carrer la courbe t- = a^y- — y^. 

 2°. Si y^ = ax^ — æ^, on trouve immédiatement l'intégrale 

 \y'^dx. On en déduit l'intégrale \xy'^dy, ou bien, en égalant 

 xy- a a'^f, la quadrature de la courbe a^ t'"^ -= a^ f-y- — y^. 



3°. Si if = — , on trouve immédiatement la valeur 



de ^y'^^dx, et ensuite, au moyen de la formule (2), celle åt^y^-xdy^ 

 ou bien, en posant y-x = a'H, la quadrature de la courbe 

 fi -\- y'^ = city . Fermat reconnait dans eette courbe celle dont 

 Sebooten venait d'étudier d'autres propriétés, et qu'a present 

 on designe ordinairement sous le nom de foliuni de Descartes. 

 Cette quadrature que Fermat obtient ici par une syntbése , il 



