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est probable qu'il Ta originairement trouvée par l'analyse in- 

 verse de cette synthése, c'est-ii-dire en transformant la courbe 



t^ -\- yi .= aty en y == g et 1 integrale \tdy en yj-xdij 



au moyen de la substitution a^t = y'^x ^ ce qui raméne l'inté- 

 gration a, celle de {y'^dæ. En effet, Fermat donne plus loin 

 des applications de cette méthode analytique. 



Fermat donne ensuite des exemples de la méthode inverse 

 OU Tintégrale \y^~^ædy est connue et sert a la déduction de 

 {y'^dx. Nous omettons ceux de ses exemples qui ne sont que 

 les inverses des deux premiers. Fermat indique ensuite en 

 deux lignes une application fort interessante de cette méthode M, 

 en disant qu'elle permet de passer sans aucune peine des 

 paraboies aux hyperboles, et réciproquement, ut experientiå 

 constabit. Afm de faire l'expérience a laquelle il nous invite, 

 posons y'' = xy^^K L'intégrale \y''dy ^ qui représente la qua- 

 drature d'une parabole, sera egale å \xtj''-^dy. La méthode 

 de Fermat permet de passer de celle-ci a l'intégrale \y'^dæ, 



qui sera egale h {æ^+^—'^dx. Cette integrale représentera la 

 quadrature d'une nouvelle parabole si /i<r-rl et celle d'une 

 hyperbole si /i^r-j-l. L'ordre de la nouvelle courbe ne sera 

 entier que dans le casou n est divisible par r-\-i — n. Il 

 nous parait difficile d'expliquer autrement la courte indication 

 de Fermat; nous le voyons done en possession d'un nouveau 

 moyen de déduire les quadratures de toutes les paraboies et 

 hyperboles (a l'exception de l'hyperbole ordinaire) de celles des 

 paraboies d'ordre entier, qu'il connaissait depuis longtemps, 

 connaissance dont dépend aussi la méthode traduite par notre 

 formule (2). il semble toutefois que Fermat se soit borne a 

 reconnaitre la possibilité de parvenir ainsi a ce resultat. 



Dans les exemples suivants Fermat passe a des quadra- 

 tures qui se réduisent par sa méthode a celle du cercle, ou 



') Q'Jtivres I, p. 277. Varia Opera p. 53. 



