Notes sur l'histoire des niathéniatiques, IV. 57 



en langage moderne a des intégrales exprimables au moyen de 

 t: OU de fonctions circulaires. Un de ces exemples fournit 

 la determination compléte de l'aire limitée par la courbe 



11^ — -. et par l'axe de æ. qui en est l'asymptote, c'est- 



( X^ TV Cl^ 



a-dire la demonstration de Tégalité \ ., , ^ dx = — _- . Pour 





parvenir a la solution de ce probléme, qui lui avait été pro- 

 pose ab erudito (/eometrå, Fermat commence par appliquer 

 l'analyse suivante a la quadrature \i/dx. Par la substitution 

 ^2 ,== f^^ ^-ette intégrale se transforme en —\z-dx; celle-ci 

 dépend, d'aprés sa méthode, de l'intégrale ixzdz, ou, si l'on 

 pose xz =- at , de Tintégrale \^tdz. Or on trouve , par l'éli- 

 mination de x et ^, ^- = a^ — z^. L'intégrale \tdz représente 

 done un aire circulairé. On aura en particulier au moyen de 

 ces substitutions 



\ 



—-dx == — \z'^ dx = ^^\xzdz = 2 \ tdz 

 ■a^ a L a y L 



T.a'' 



ay-i-rt^ (I. J (I. -) .K 2 



o 



Fermat a surmonté de plus grandes difficultés en appli- 

 quant sa méthode a la réduction successive des intégrales de 



n 



la forme ^(o- — x''-)'^dx oii n est un nombre impair. Sa réduc- 

 tion n'est pas toutefois identique a celle qu'on trouve dans les 

 cours classiques de calcul integral, et les remarques que nous 

 avons déja faites sur sa méthode expliquent la raison de cette 

 difference. La méthode ordinaire de réduction exige en effet 



n 



la differentiation de (a- — x''-)^ . 11 nous interesse d'autant plus 

 de savoir comment Fermat s'y prend pour parvenir au 

 méme but. 



Si Ton suppose if- = o- — æ- , l'intégrale ^ij'^dx se réduit, 

 par la méthode de Fermat et par les substitutions successives 

 xy = at et y-=az^ d'abord a {xy-dy ^ puis a \tydy, ensuite a 

 yj^dt, et enfm k\zdt. La courbe finale dont l'équation résulte 



