58 . H -G. Zeuthen. 



de rélimination de ,2; et ?/ étant le cercle f^-^z^ = az, la der- 

 niére intégrale représente une aire circulaire. Fermat ajoute 

 que pour des valeurs plus élevées du nombre impair n 011 

 aura besoin de repeter plusieurs fois la méme réduction. C'est 

 ce qu'on voit en appliquant exactement les mémes substitutions. 

 Alors on passera par les intégrales suivantes 



n—l 



\fdA-, \æy-'dy, [ty^^-^dy , \y^^-' dt , \z~^ dt. 



z étant egal a — i: 1/ ^^ ^^, et a un entier plus petit 



que w, on arrive ii des intégrales de la méme nature mais plus 

 simples que i'intégrale proposée. La réduction de Fermat 

 marche méme plus vite que la réduction ordinaire , qui ne fait 

 que diminuer l'exposant n de deux unilés , mais elle le céde a 

 celle-ci quant a runiformité, qui a ici une grande valeur. 



Le dernier exemple de Fermat va nous servir a montrer 

 le grand nombre de transformations successives que peut 

 nécessiter sa métliode en méme temps que la puissance dont 

 il fait preuve pour inventer les transformations qui condui- 

 sent au but. 11 s'agit de trouver la quadrature de la courbe 



„ a'x—a^ ,. „. , , ^Va — æ , o ., > 



y- = ^ — , OU bien 1 mtegrale \ ^ — dæ, assez facile a 



determiner par les méthodes modernes de substitution. Fermat 

 préfére chercher I'intégrale {xdy^ que, gråce a sa méthode et 

 aux substitutions successives 



«a; = c^, yz=-at=-u'^^ zi<=^av, au=-vs, i^'^ ^^ aj) = sq, s^ = ar, 

 il exprime successivement au moyen de 



^z^dy, \^yzdz, \tdz, iu'^dz , inzdu, '{^vdu, {ttdv, [vsdv, \v-ds, 

 \2)ds, [sqds , [s-dq, {rdq. 



L'équation en r et q qui résulte de l'équation donnée en 

 æ ei y au moyen des substitutions successives est q- = ar — r-. 

 Fermat a done réduit la quadrature demandée a celle du 

 cercle; mais il est difficile de retrouver ici Tidée qui a guide 

 ses pas vers ce resultat exact. 



