Notes sur l'histoire des malhématiques, IV. 63 



Revenons aux qiiadratures qni précédent la création du 

 calcul infinitesimal. 11 nous faiit encore parler des applications 

 qu'en ont faites Fermat et ses contemporains. C'est, en eiVet, 

 avant tout en ayant égard h ces applications, identiques a une 

 partie de celles qu'on fait a present des integrations, que nous 

 avons pu regarder comme des integrations les quadratures de 

 courbes rapportées a des axes rectangulaires. 



En premiere ligne se présentent les quadratures de courbes 

 représentées a l'aide d'autres coordonnées, en particulier celles 

 des spirales. Pour Fermat ces quadratures viennent immédiate- 

 ment aprés celles des paraboles. 11 imité a eet égard le grand 



Syracusain , qui donne les integrations \xdx et \x^dx dans 



l'introduction de son livre sur les spirales , et qui execute au 

 moyen de la derniére la quadrature des secteurs de spirale 

 d'une maniére qui ressemble beaucoup å celle que nous expri- 

 meridns par les équations 



Déja en 1636, dans l'année méme ou il communiquait a 

 Roberval ses quadratures des paraboles d'ordre entier. 

 Fermat parle , dans une lettre du 3 juin adressée au 



le fait en en renfermant le leste entre deux progressions géométriques de 

 raisons \ et \. La derniére progression est la méme dont Archiméde 

 se sert dans sa quadrature de la parabole d'une maniére absolument rigou- 

 reuse, et la convergence de ces deux progressions est une conséquence du 

 critére — exact mais trop large — qu'Euclide énonce au commence- 

 ment du IQe livre des Elements, et qu'on peut énoncer ainsi : La valeur 

 limite du produit v^o^v^ ... est egale k zéro si, å partir d'un certain 



facteur, ^^^i <_ _-. [Voir H.-G. Zeuthen: Mathematikens Historie, 



Vn. 2 



Oldtid og Middelalder. Kjøbenhavn 1893.] Newton cite expressément 

 le critére d'Euclide et en tire le critére suivant de convergence d'une 

 serie: La serie infinie "i-i- it2 + rt3+ ... est convergente si, å partir d'un 



ttn+l <■ 1 , „ 



certain terme, — - — ^^ -y . [Newton: Opuscula 1, p. 27; voir aussi 

 Reiff p. 30—31.] 



