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P. Mersenne M, d'un traité de nouvelles hélices (spirales), qu'll 

 vent dresser, et il cite en exemple la spirale qui a poiir éqiia- 



tion — 5 = ^— . 11 en enonce cette niteressante propriete qu a 



l'exception de la premiere ses différentes spires sont égales entre 

 elles. Dans sa lettre déja citée du 4 novembre a Rober val 

 il invite ce savant a prier le P. Mersenne de lui donner ses 

 nouvelles hélices^). Mersenne avait done alors déja regn le 

 traité en question, oii Fermat aura toutefois omis les demon- 

 strations, assez penibles selon sa premiere lettre, ce qui ne 

 Tempéche pas de dire dans la seconde lettre qu'elles seront 

 probablement aussi aisées a Rober val que celles du conoide 

 et des paraboles. On ne doit pas regarder ce propos comme 

 une politesse un peu malicieuse ; car Fermat Texplique en 

 disant, dans sa lettre du 16 décembre a RobervaH), que la 

 demonstration des quadratures des spirales est pareille a celle 

 des nouvelles figures qu'il a carrées (les paraboles) ou ciibées 

 (certains conoides). 11 a done aussi carré les spirales des difte- 

 rents ordres au moyen des sommes des puissances semblables 

 des nombres entiers que nous l'avons vu appliquer a sa premiere 

 quadrature des paraboles des différents ordres. Bien qu'il n'ait 

 pas encore réduit la premiere quadrature a la seconde, il a vii 

 l'identité algébrique de ces deux questions. C'est sans doute 

 sa connaissance de cette identité des aires qui l'a conduit plus 

 tard a étendre aux paraboles et aux spirales de tous les ordres 

 l'identité, découverte par Roberval et démontrée par Pascal, 

 des arcs de la parabole et de la spirale ordinaires. Nous en 

 parierons tout a l'beure. 



A une époque oii l'on ne possédait pas la notion analytique 

 des intégrales a laquelle se réduisent aujourd'hui les quadra- 

 tures des paraboles et des spirales, la réduction de Tune a 



Varia Opera p. 121. 

 Ibid. p. 147. 

 Ibid. p. 149. 



