Notes sur Thistoire des mathématiques, IV. 7 1 



plus compliquées. Son théoréme general, qu'il a communiqué 

 a Lalouvére, et que ce savant jésuite a publié au nom de 

 Fermat en 1660M, peut étre exprimé de la maniére suivante 

 dans le langage mathématique actuel : La longueur de la premiere 

 spire (depuis ?!/ = O jusqu'a ?^ = 27r) de la spirale 



est egale å la longueur de l'arc de la parabole 



depuis y = O jusqu'a y = a. Fermat ne démontre pas ce 

 théoréme, mais du renvoi qu'il fait a la demonstration du théo- 

 réme particulier due a Pascal, il résulte que sa propre de- 

 monstration ne devait guére differer de la vérification que nous 

 obtiendrions en posant 



^ ' ' ^ ni .27Ta I \2'!z, 



ce qui conduit, gråce a léquation de la spirale donnée, a 

 dy = dr , dx = rdi^. 

 La communication faite a Lalouvére par Fermat con- 

 tient d'autres resultats remarquables sur la longueur des arc« 

 de paraboles. Ces resultats qui devancent le théoréme cité 

 font méme supposer qu'avant la demonstration de Pascal 

 Fermat avait aussi commencé de s'occuper du probléme de 

 la rectification^). 11 ne se borne pas a la comparaison des arcs 

 de différentes courbes, mais il compare les arcs a des aires 

 limitées par des courbes, ou bien il réduit la rectification a la 



1) Fermat: (Euvres I, p. 207. 



^) La partie de ces recherches qui a trait a la cycloide doit dater d'une 

 époque postérieure a 1658 parce que c'est seulenient cette année-la 

 qu'on apprit ii connaitre la rectification de cette courbe due å 

 Wren; mais la circonstance que Fermat a su démontrer sur-le-chami) 

 (Pascal: Histoire de la Roulette) le resultat trouvé par Wren porte 

 a croire qu'il était déjti familier av£C les principes de la rectification 

 des courbes. 



