Notes sur lliistoire des inathématiques, V. 207 



pelle le titre de la lin de l'appendice déja cilé du méinoire sur 

 les équatlons a un nombre infini de termes: Inventio curvarum 

 quæ quadrari possunt. Aussi la solution que Newton donne 

 ici est-elle la méme qu'il avait indiquée alors : il faut prendre 

 des expressions arbitraires pour les aires et en déduire par 

 differentiation les expressions des ordonnées. 



Cependant , soit pour avoir les moyens de carrer une 

 courbe arbitrairement proposée (integrer une fonction donnée), 

 soit pour reconnaitre rimpossibilité d'en exprimer l'aire au 

 nioyen de fonctions ^) connues, il faut se rendre compte de la 

 nature des fonctions qu'on peut former par differentiation, et 

 pour y parvenir il faut étudier les formes qui résultent de la 

 differentiation de fonctions d'une forme assez générale. Newton 

 étudie done successivement le resultat de la differentiation de 

 z^E^ (Prop. III) et de z'^R^S^^ (Prop. IV), B et S étant des 

 polynOmes en z'^'. Les exposants out des valeurs quelconques, 

 et plus loin Newton attribue expressément a / et ju des va- 

 leurs negatives ou fractionnaires. Newton montre que les 

 ordonnées correspondant, pour l'abscisse z, a ces valeurs des 

 aires (les quotients différentiels de ces fonctions) ont les formes 

 suivantes: Qz'^—'^^^--^ et Q z''^^'^ B^'~'^ S'^-\ ou (? est aussi un 

 polynome en z'^K 



Si, réciproquement , il s'agit de carrer une courbe ayant 

 pour ordonnée une de ces derniéres valeurs, les intégrales 

 auront les formes 



z'^GB^- et z'^GR^Sf", ■ 



G étant exprimé par une serie, en general infinie, de la forme 

 A ^ Bz'^ ^ Cz^^i -^ . . . Newton détermine (dans les proposi- 

 tions V et VI) les coefficients A^ B, C ..., en égalant les expres- 

 sions données a celles qu'on obtient par la differentiation. 



Ce qui nous interesse ici particuliérement, c'est que Newton 



^) Auoun malentendu ne peut resulter de ce que je me sers ici de cette 

 denomination plus moderne. 



Overs, over D. K. D. Vidensk. Selsk. Forh. 1895. 14 



