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ne se borne pas a ce développement general, mais qii'il s'en 

 sert poiir trouver les intégrales algébriques sous forme finie 

 dans les cas ou il en existe. On le voit poiir la premiere des 

 deux formes par les remarques ajoutées a la demonstration de 

 la proposition V. Dans ces remarques il dit comment doit étre 

 compose le facteur R^~'^ pour que l'expression soit intégrable. 



Dans le cas d'une fonction rationnelle, Tintégration sous 

 forme finie sera imposslble, si le dénominateur contient des 

 facteurs affectés de l'exposant 1. 



Si tous les facteurs du dénominateur sont multiples , on 

 formera le polynome E en divisant le dénominateur par le 

 produit de ses diiférents. facteurs linéaires. 11 est facile ensuite 

 de donner a la fraction le dénominateur B^; Å devient dans ce 

 cas egal ii — I. On transforme le dénominateur d'une maniére 

 semblable, s'il contient en méme temps des facteurs rationnels 

 et des facteurs irrationnels. On évite en tout cas qne le poly- 

 nome rationnel Q contienne le facteur R. La réduction å la 

 forme Qz'^~^ R^~^ devient impossible si la fonction est frac- 

 tionnaire en méme temps que le numérateur contient des fac- 

 teurs irrationnels. C'est probablement pour cette raison que 

 JNewton a étudié aussi les formes Q z'^~^ R^~^ S^^~^ . 



Aprés ces transformations préliminaires, on obtiendra l'inté- 

 gration sous forme finie, si elle est possible, par le développe- 

 ment indiqué: dans ce cas en elfet, ce développement s'arrétera 

 de lui-méme. C'est de cette maniére que Newton trouve les 

 intégrales ^) 



t' z^ + z'^ — Sz^ 



^z^-}-z* — bz^ — z'^-\-8z — A 



(q- — x^] (5^ + q'^æ — q.v^ — x'"^)^ {q^ -\- q'^ — q^^ — ^'^)^ 



Nous voyons par sa lettre å Leibniz du 2ioctobre 167 6'f 



') Dans le premier membre du second exemple nous avons elFacé un fac- 

 teur q. 

 ") Neivtoni Opuscula t. I, p. 328 s. 



