Notes sur l'histoire des niatluTiiatiques, V. 209 



qu'a coté de ces integrations assez particuliéres, (luoiqne assez 

 compliquées , Newton a obtenu par son procédé des régles 

 assez générales snr Tintégrabilité de fonctions plus simples. Il 

 montre qne la serie servant a la quadratnre de la coiirbe 



se réduit a un nombre fini de termes, dans le cas oii '— ^ = r 

 est un nombre entier et positif. La courbe admet alors une 

 quadratnre géométrique (c'est-h-dire algébrique). Newton ajoute 

 au dernier de ses exemples M que la méme rédiiction sera pos- 

 sible si l'expression se raméne a la forme ci-dessus lorsqu'on 

 l'écrit 



c'est-å-dire si h ^^^ = '" est un nombre entier positif. Il a 



done reconnu les deux cas ou nous savons integrer les diffé- 

 rentielles binomes, et il dit que ce sont les seuls, quantum 

 animadverto. 



La restriction que r doit étre positif devient nécessaire 

 parce que Newton demande une integration algébrique, tandis 

 qu'en nous occupant de la méme question dans nos cours de 

 calcul integral nous envisageons aussi les cas de réduction aux 

 fonctions logarithmiques ou circulaires. Ce n'est pas que 

 Newton neglige ces derniers cas. Dans la lettre que nous 

 venons de citer, il en parle en les qualiflant de réduction a la 

 quadratnre de sections coniques. Cette réduction, on la trouve 

 dans le Traité de la quadratnre, renfermée dans la réduction plus 

 générale des intégrales d'une certaine forme a un nombre limité de 

 types fixes. Dans la proposition VII Newton établit que toutes les 

 intégrales ^z'^'^'^ E^'^'^dz ou B ^= e-\-fz'^ -{-gz^^ -\- . . ., et ou 



*) Newtoni Opuscula t. I, p. 338. Cette addition doit avoir échappé å 

 M. Cantor, qui n'attribue a Newton que la connaissance d'un cas 

 principal {ein Hatiptfall) oij l'intégrale de differentielle binome prend 

 une forme finie (Cantor t. III, p. 179). 



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