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^, Ty, /, e, f. (), . . . ont des valeurs données quelconques tandis 

 que <T et r sont des entiers, s'expriment par (des fonctions 

 algébriques et) iine seule. des intégrales de cette catégorie si 

 R est lin binome, par deux de ces intégrales si R est un tri- 

 nome, par trois si R est un quadrinome, etc. 



En effet, ['expression déja trouvée de la difterentielle de 

 s^^R^ donne entre les intégrales \z'^~'^R^~'^dz, \^^^'^~'^R^'~^dz^ 

 C^-'^+S'j— ij^'^— if/?' ... une relation qui permet d'exprimer Tune 

 d'entre elles au moyen des autres. En remplacant ensuite 

 ^ par ^-j-vy, ?^ + 2;y, etc, on sera en etat d'exprimer l'intégrale 

 (^^'5<+<r>y— i^/'.— 1^^ par une, deux, trois, etc, des autres, suivant 

 que R est un binome, un trinome, un quadrinome, etc L'inté- 

 grale ^s^'^^'^'-'-R^dz = \z''^+'^'-^{e^fz-n-\-(jz^-'j^...)R^-^dz 

 est composée d'inlégrales de la forme précédente. 



Dans le cas d'un binome la réduction de Newton com- 

 prend immédiatement celles dont on se sert aujourd'hui pour 

 exprimer les intégrales de diflerentielles binomes a l'aide de 

 celles oii les exposants ont des valeurs assez simples. Toute- 

 fois en n'indiquant que sommairemeut le procédé , Newton 

 n'a pas en lieu d'observer les cas d'exception qui peuvent re- 

 sulter de l'impossibilité des équations algébriques du premier 

 degré a la resolution desquelles se raméne le probléme de ré- 

 duction. On voit aussi que Newton ne se sert pas de linté- 

 gration par parties, mais les calculs qu'on aurait a exécuter 

 pour parvenir au resultat final seraient essentiellement les mémes 

 que ceux auxquels conduirait cette operation. 



Dans la proposition VIII Newton énonce la réduction 

 analogue des intégrales de la forme {z''^'^'^'^R^'''^'^ S'-^'^^ dz oii 

 i5/, iy, /, [j. ainsi que les polynomes R et S sont donnés, tandis 

 que (T, r et V ont des valeurs entiéres quelconques. Le nombre 

 d'intégrales auxquelles on peut réduire celles-ci est egal a la 

 somme des nombres des termes de i? et S moins 2. 



Toutes les fonctions algébriques et explicites qui ne con- 

 tiennent que des radicaux simples peuvent étre décomposées 



