Notes sur l'histoire des niathémiitiques, V. 211 



en termes ayant les formes GR^^ et GR^-S'^-. Newton a done 

 indiqué des méthodes, penibles il est vrai mais générales, ponr 

 integrer toutes ces fonctions algébriquement s'il est possible, 

 et dans le cas contraire ponr en rédnire les intégrales a 

 des types fixes. 11 se met ensnite, dans la proposition IX, 

 a la recberche des transformations servant a rédnire anx 

 formes connues on déja étudiées les intégrales d'antres fonc- 

 tions dépendant d'éqnations algébriques. Il commence par 

 indiqner sons forme de théoréme la transformation rjénérale 

 par substitution d'nne nonvelle variable indépendante , et 

 ajoute, comme corollaires, différentes applications de cette 

 transformation. 



Le tbéoréme est énoncé sons la forme snivante : Æquantiir 

 cnrvarian areæ inter se quarum ordinata) sunt reciproce ut 

 fuxiones ahscissarimi ^ et Newton le démontre en disant: 

 nam contenta sub or dinatis et fluxionibus abscissarum erunt 

 æqualia, et fluxiones arearum sunt ut hæc contenta] c'est- 

 a-dire qne l'aire \ydz sera egale å \vdx si — ^ -^ , car alors 

 ydz = vdx. 11 est évidemment sons-entendn qne les intégrales 

 (on plutot les aires qn'elles représentent) ont des limites 

 correspondantes. 



On voit que le tbéoréme repose sur le caractére inverse 

 de la qnadrature et de la difterentiation (ou formation des fluxions). 

 En méme temps cette derniére operation sert de base anx 

 applications de la transformation considérée. En efl'et, comme 

 le fait remarquer Newton dans son premier Corollaire, si 

 l'on donne la relation (x = ^(z)) entre les abscisses, on en pent 

 déduire le rapport de leurs Ouxions (^ = ^V)) qni est egal a 

 celui des ordonnées (— I , d'oii résnlte l'expression de la non- 

 velle ordonnée v = -^ . On voit que c'est la transformation 

 générale par substitution qu'expose ici Newton. Considérons 

 les plus remarquables applications qu'il en fait: 



