Notes sur l'histoire des mathématiques, V. 213 



a l'intési'ale de dinérentiellc biiiome 



1+ /vJ 



dx. 



Newton signale cttmme les cas les plus simples les suivants: 

 1° /(= 1; 2° r = 1 et (rt + 6(e^^-f /•;^''+'y + ...)r rationnel; 

 3° co=—\ et / = r=l, v = 0. 



Coroll. X. L'intégrale 



oii R, S sont des polynomes en ø, et r, s leurs fluxions 

 divisées par celle de z (c'est-a-dire, avec les notations modernes, 



dR dS\ ,, . , , 



—i— , -1— , se reduira, dans le cas ou 



dz dz' 



<f U , n-\- ucu 



-^ = , k = TZ'^ , 



7r r f 



par la substitution x = R^S^ a une intégrale de la forme 

 \x'^{a-\-hx'^]'"dx. 

 Tsewton signale encore plusieurs cas oii l'intégrale donnée 

 sous une forme assez générale prend une forme plus simple. 

 Dans les corollaires II-VI Newton se sert des substitutions 



^ 1 



x = z^ eta;:= — pour ramener les intégrales considérées dans 



ce qui précéde, et contenant des polynomes en ^^, a d'autres 

 qui contiennent des polynomes en x^ ou x~^. L'exposant u 

 pouvant étre egal a 1 , cette transformation lui sert k réduire 

 le nombre des types essentiellement distincts les uns des 

 aiitres. 



En comparant cette transformation générale par substitu- 

 tion dont dispose Newton a celle de Fermat^), on voit bien 

 quel grand progrés on doit aussi sur ce point a la découverte 

 du caractére inverse des deux operations infinitesimales. Ne 

 connaissant pas le rapport qui existe entre la quadrature et la 

 differentiation qu'il venait d'inventer lui-méme, Fermat devait 



^) Voir ma Note précedente (p. 54 de la présente année du Bulletin). 



