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Il va sans dire quen continuant le travail de Newton, 

 ses successeiirs ont apporté aussi beaucoup de simplifications 

 aiix reclierches qu'il avait achevées. Ils l'ont fait, non seule- 

 ment par l'emploi d'iin algorithme plus complet, mais aussi par 

 une application plus directe de l'intég ration par parties, 

 que Mewton remplace soit par un usage plus penible des 

 resultats connus de la differentiation, soit par la méme interver- 

 sion des deux variables (coordonnées) dont se servaient Fermat 

 et Pascal. Cependant la onziéme et derniére proposition du 

 traité l)e (^iiadratura rend probable , de la part de Newton, 

 une connaissance plus directe de Tutilité de l'intégration par 

 parties. Cette proposition n'est autre que le théoréme sur la 

 r é d u c t i o n d ' u n e i n t é g r a 1 e multiple å une i n t é g r a 1 e 

 simple. En substituant aux lettres par lesquelles Newton 

 designe les différentes aires les intégrales équivalentes , nous 

 pourrons écrire les équations exprimant ce théoréme de la 

 maniére suivante : 



\\\ 



\\ijdz'- = t\ijdz — \2ydz = \{t-z)ijdz 



•-'o*- o*' o 2 



'CT r 7 - Adz-UÅzndz^{StÅzhidz-u{zh/dz-{-[z''ydz 



= lS^t-z)'!/dz. 



Newton ne donne pas d'autre demonstration que les 

 équations traduites ici d'une maniére absolument fidele par les 

 notations du calcul integral et qui correspondent aux trans- 

 formations des intégrales multiples qu'on elfectue aujourd'hui 

 au moyen de l'intégration par parties. Il est done naturel 

 d'admettre qu'il les a trouvées par une application de ce 



