Notes sur l'histoire des malliéniatiques, V. 225 



grande portée, ont satisfait, du resle, Leibniz, (iiii étail déja 

 familier avec rappiication des series aux quadratures , plus 

 qu'elles n'ont satisfait M. C an tor ^), II n'aura pas été impos- 

 sible par exemple a Leibniz de rétablir d'aprés les indications 

 de Newton la déduction du développement de Vare sin— , 

 c'est-å-dire de l'arc d'un cercle de rayon r dont le sinus est 

 egal a — . Il lui a été facile de voir géométriquement au 

 moyen de son triangle caractéristique que l'élément ds de eet 

 arc est egal a ' En appliquant le théoréine du binome, 



on trouve 



et ensuite par la quadrature déja bien connue des paraboles 

 . X I x'"^ , Z x^ , b x"^ , 



r ■ 6 r^ 40 /'^ 112 r^^ 



Une application du théoréme du binome et des quadratures des 



r 



puissances x~^ conduit de méme a l'expression indiquée par 

 Newton pour Vare sin. verse x. Il semble plus difticile de re- 

 trouver la demonstration qu'a donnée Newton du développe- 

 ment de sm X, demonstration qui dépend évidemment de son 

 inversion des series. Il est vrai que dans sa lettre Newton 

 n'indique qu'indirectement. par un exemple de la solution d'une 

 équation algébrique au moyen d'une serie, comment il effectue 

 cette inversion; mais la réponse de Leibniz du 27aoutlG76-) 

 montre que celui-ci avait saisi assez bien la maniére d'exécuter 

 ces inversions pour déduire la serie représentant e^ de celle qui 

 représente log(i-\-x)^ et pour trouver la serie représentant cos x^ 

 resultats dont Newton était du reste déja en possession : le 

 premier se trouve en effet dans son AnaJysis per æqttationes 

 infinitas , et le dernier, sous forme d'une serie exprimant sin, 

 verse X dans la lettre méme a laquelle répond Leibniz. 



M III, p. 174: Von AhleiUmgen oder Beiveisen ist nichts zu finden. 

 ^) Leibniz t. I, p. 114 et s. 



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