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lettre de Newton montrentM qu'il a retroiivé l'intégration en 

 termes algébriques dans le cas oii elle est possible, et en 

 d'autres cas la réduction a des intégrales plus simples , par la 

 substitution dont nous nous servons aujourd'hui. 



La lettre de Newton contient encore: une remarque sur 

 l'usage des quantités negatives a Toccasion des deux series 

 différentes que Leibniz avait cru nécessaires pour representer 

 e^ suivant que le nombre dont x designe le logarithme est 

 ^ 1 ; des rernarques sur la rapidité de la convergence des 

 différentes series et sur leur commodité au point de vue du 

 calcul numérique^); des indications sur le procédé dont New- 

 ton s'est servi plus tard dans sa Metliodus differentialis (l'inter- 

 polation) pour trouver des quadratures approchées, en substi- 

 tuaiit des courbes plus simples a celles qu'il faut carrcr, etc. 



On voit l'importance des Communications contenues dans 

 les deux lettres de Newton. Nous insisterons ici sur celles 

 qui out eu une influence importante sur la création du calcul 

 differentiel et integral de Leibniz, si peu différent au fond 

 du calcul des fluxions de Newton: 



1° Les Communications sur la formule du binome et sur 

 la maniére dont Newton en avait concu la premiere idée ; 

 elles out, en effet, conduit Leibniz a la differentiation des 

 quantités irrationnelles; 



2° Les Communications complétes sur Tapplication des 

 series aux quadratures et sur la muUitude de nouvelles series 

 qui en résultent; on sait en effet quel role considérable l'ap- 

 plication des series joue aussi dans le calcul integral de 

 Leibniz; 



Leibniz I, p. 128. 



Gest dans cette leUre que Newton a trouvé qu'il faudrait mille ans 



pour calculer 20 décimales de -r- par la serie de Leibniz [Neivtoni 



Opuscula 1, p. 345). On voit done qu'il avait en vue aussi l'usage 

 pratique des series. 



