260 H. G. Zeuthen. 



dans les cas ou une telle loi existe; mais la méthode permet 

 toujours de vérifier cette formation pour iin nombre quelconque 

 de termes. Nous allons voir que c'est h peu pres la méme 

 chose qui manque k sa demonstration de la convergence, tandis 

 que sa notion de la convergence est identiqiie a la notre. 



Newton commence la demonstration qui nous occupe M en 

 énongant avec une précision parfaite la condition suivante de pos- 

 sibilité d'un développement en serie : il doit exister des valeurs 

 de la variable indépendante x assez petites pour rendre conver- 

 gentes les series exprimant la variable dépendante y. Sans se 

 servir encore du mot cotwergent^ il défmit l'idée qu'il renferme 

 par la condition qu'^n prenant un nombre assez grand de termes 

 on puisse rendre la difference de la serie et de la quantité i/ 

 a développer plus petite que toute quantité assignable ^). 



Pour démontrer que les series qu'il obtieut par sa méthode 

 de développement satisfont bien å cette condition, Newton fait 

 remarquer que son procédé consiste dans la formation succes- 

 sive de nouvelles équations ayant pour racines, jj, g, r, les diffe- 

 rences entre les racines y de l'équation donnée et la somme 

 des termes déja obtenus de la serie. Il considére en particulier 

 le dernier terme (total) de ces nouvelles équations, savoir celui 

 qui ne contient pas l'incrément cherché , p ou q ou r. Ce 

 terme est un polynome en .■», que nous appellerons ici <p[x)^ 

 et Newton dit que chaque nouvelle approximation en enléve 

 le terme (partiel) qui contient la puissance la plus basse de x. 

 En prenant une valeur assez petite de x, on peut faire en sorte 

 que cette partie enlevée soit plus grande que la moitié de <f(x). 

 Alors il résulte du critére de convergence d'Euclide (X, 1) 

 qu'il est possible , en continuant indéfmiment la formation des 



*) Opuscula p. 27. 



") M. C an tor rappelle (t. II, p. 823) que cette maniére exacte d'expiimer 

 une approximation indéflnie est due a Wallis. Cependant il ne faut pas 

 oublier que c'est précisement ;i cette question que répond la méthode 

 d'exhaustion des anciens. 



