Noles sur l'histoiie des niathématiques, VI. 261 



nouvelles équations, de rendre le dernier terme <p{x) aussi voisin 

 qu'on vent de zéro. En méme temps une seule des racines 

 chercliées — savoir celle qui correspond h. la racine considérée 

 y de réqiiation donnée — s'approchera de zéro. Cette approxi- 

 mation peut étre poussée aussi loin qu'on le veut. La serie 

 formée des incréments trouvés successivement tendra done a 

 representer une des racines de Téqualion proposée. 



On pourrait objecter a cette demonstration que le passage 

 d'une des équations successives h. la suivante ne se borne pas 

 a enlever au dernier terme (p[x) la partie qui contient la puis- 

 sance la plus basse de x\ mais cette remarque n'a que peu 

 d'importance. En comparant les derniers termes (p{x] et ^\x) 

 de deux équations consécutives, on s'arrangera, en effet, sans 

 aucune difficulté de maniére que ^(x), qui ne contient plus une 

 puissance de x aussi basse qu'en contient <f{x)^ soit plus petit 

 que la moitié de (p{x). 



Plus importante serait la remarque que le dernier terme 

 en question, <p(x)^ ^(^), etc, se compose de termes de plus en 

 plus nombrenx a mesure que progresse l'opération, et que, dans 

 le cas de l'inversion d'une serie infinie donnée , les équations 

 ^^ y-i Pi 9.1 '''i ' • • sont de degré infini. On peut craindre des 

 lors que la valeur de x dont il y aurait besoin pour assurer 

 la convergence, n'ait elle-méme pour limite zéro, contrairement 

 a la definition de la convergence. Pour ces raisons on peut 

 contester la généralité a laquelle semble prétendre cette de- 

 monstration, que Newton se borne a donner une fois pour 

 loutes; mais elle suffira dans les cas particuliers. Elle suffira 

 évidemment, dans les cas oii Newton se contente de la for- 

 mation d'un nombre limité de termes, pour juger de l'approxi- 

 mation ainsi obtenue ; car au moyen des considérations de 

 Newton on peut constater la possibilité de prendre une valeur 

 de X assez petite pour rendre le resfe plus petit que le dernier 

 terme trouvé de la serie ou méme plus petit qu'une fraction 

 quelconque de ce terme. Une application des series de Newton 



