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d' Archiméde, et il n'est pas improbable que l'idée de cette 

 demonstration ait été suggérée a Newton par les courbes du 

 grand Syracusain. 



Le seul défaut de la proposition tres interessante de 

 Newton, c'est celui d'une definition précise des ovales. 

 Afin d'y suppléer, il est nécessaire et il suffit d'avoir en vue la 

 demonstration simple que nous venons de rappeler. Il est 

 supposé, premiérement, que l'ovale dépend d'une seule équation, 

 ce qui a lieu lorsqu'il fait partie d'une courbe algébrique. 

 Newton suppose encore évidemment que l'aire entiére peut 

 étre balayée par un rayon vecteur variable faisant sans inter- 

 ruption une rotation egale a 2;r, et que la loi de la variation 

 du rayon vecteur n'est soumise, pendant cette rotation, a aucune 

 alteration subite. Il ne regarde done comme un ovale ni un 

 contour ferme a arcs rentrants (ou å inflexions) ni une boucle 

 de courbe attachée par un point double a d'autres branches 

 de la méme courbe. 



On n'aurait du reste besoin que d'une legere extension de 

 la demonstration pour l'appliquer aussi aux courbes fermées a 

 arcs rentrants et méme a des eontours finis et fermes tracés 

 d'un trait continu et formant des boucles, a la seule condition 

 que l'aire totale limitée par un tel contour ne devienne pas 

 egale a zéro si l'on donne aux dilférentes parties de l'aire un 

 signe dilTérent, suivant qu'elles se trouvent a droite ou a gauche 

 d'un observateur parcourant le contour toujours dans le méme 

 sens M. Au contraire la demonstration de Newton ne permet 

 nuUement de regarder comme un ovale une seule des parties 

 de cette aire totale , par exemple l'une des deux boucles de 

 la lemniscate. Appeler une telle boucle un ovale ne serait 



En combinant la demonstration de Newton a des théories modernes, 

 on en peut méme couclure, inversement, que la quadrature d'une partie 

 quelconque de l'aire d'une courbe du genre zéro s'exécute algébriquement 

 dans le cas ou l'aire totale est egale a zéro. Cela a lieu, par exemple, 

 pour la lemniscate. 



