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ayant le seul pole s = 1. C'est å present un fait bien connii 

 qu'elle peut étre représentée par une expression de la forme 



Cis) = ^ + P(s), 



oii P(s) designe une serie entiére, convergente dans tout le 

 plan. 



On sait également corriger les definitions incomplétes de 



00 



la fonction tant par la serie 2"«"* que par Tintégrale définie 



I \ X 



s-l 



-— — \ ~dx, de maniére qu'elles puissent étre appliquées 



fis] U^ — 1 ' ^ ^ ^^ * 



aux regions du plan autres que celles qui sont situées a droite 



de la ligne représentée par s= 1. 



Je me bornerai seulement a citer la formule suivante 



qui, s étant supposé reel, donne la valeur de C(s), en general, 

 au moyen d'une serie semi-convergente. Si toutefois s est egal 

 å un nombre entier négatif ou si Ton fait « = co , la serie se 

 réduit a un nombre flni de termes. On obtient ainsi, pour les 

 Valeurs de s dont la partie reelle est positive, l'expression 



^{s) = lim„ = « (l'n-' — - 



\ 1 1 — s 



Cette formule, trouvée avec une legere modification par 



M. Pilz et un peu plus tard retrouvée indépendamment par 



MM. Stieltjes et J. L. W. V. Jensen, a été appliquée par ce 



dernier auteur au calcul des coefficients de la serie 



SC(1— 5) = C0 + C1S+C2S+ ... 



Rappelons encore que Riemann lui-méme a démontré 

 que, si l'on pose 



s 



r(l+|);r~^(5-l)C(s) = ^(-5-1), 

 on obtient une nouvelle fonction analytique qui est holomorphe 

 dans tout le plan et qui en outre est une fonction paire de 



