Note sur le calcul de la fonction C(s) de Rlemann. 305 



(6'— i). En posant s—^ = ti, Riemann représente cette fonc- 

 tion par ${t). 



Sur la fonction $(t) Riemann indique sans demonstration 

 deux théorémes importants. 



Le premier de ces tliéorémes, qui énonce que la fonction 

 $(t) considérée comme fonction de t- est du genre zéro et que 

 ${t) par conséquent peut étre représentée par un produit de 



facteurs primaires de la forme k-il -J , a été démontré par 



M. Hadamard. Le second théoréme, consistant en ce que 

 toutes les quantités « , racines de l'équation transcendante 

 $(t) = O, sont reelles, est resté jusqu'ici sans demonstration. 



La théorie générale des fonctions ^ et $ est done encore 

 assez incompléte. On ne posséde notamment, pour les coef- 

 ficients des series en question, aucune expression assez simple 

 pour qu'on puisse calculer sans difficulté la valeur numérique 

 d'une de ces fonctions pour une valeur donnée de l'argument. 

 Et en ce qui concerne les racines a, on sait seulement que 

 la plus petite d'entre elles surpasse 12 (Mangoldt). Feu 

 M. Stie 1 tj e s est , a ma connaissance, le seul auteur qui ait 

 entrepris le calcul numérique de ces racines ; dans une lettre 

 de 1887, il me dit qu'il a trouvé la valeur de a^ egale ii 

 environ 145. 



Mais plus la théorie générale reste en défaut, plus les 

 resultats d'un calcul numérique auront d'importance, non seule- 

 ment a cause des renseignements qu'ils donnent sur les varia- 

 tions que peuvent subir les fonctions en question , mais aussi 

 parce qu'il peut arriver que le calcul numérique fournisse un 

 guide utile pour les considérations théoriques. 



Néanmoins, aucun des auteurs qui se sont occupés de 

 la fonction C ne semble avoir eu le courage de continuer et 

 de completer les calculs de MM. Jensen et Stieltjes. Cela 

 ne peut étonner personne, car pour arriver a une determina- 

 tion, qui ait quelque valeur, des premieres racines a, il faut 

 faire le calcul des coefficients de la serie P(s) avec une tres 



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