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Niels Nielsen. 



Dans ma Note précédente, j'ai démontré la formule 



1/5) 



I 



[-\r%y'r(px) 



p=i 



(-ir 



2r(;/-fl) 





2n4-l 



OJX 



\2 



[i-w'^y'-Uco, 



OU n designe iin positif enlier qiielconque, et ou '^[fi] doit élre 

 plus grand que — t^. Transformons maintenant l'intégrale défmie 

 qui figure au second membre de (/?) en y posant — au lieu de 

 w, nous aurons 



I 



[-\Y-^[^)-"-J^{px) 



D« 



2n+l 



COS ——-fy 



2/> + l) xVnr{[x+\) ] cosf 



('-3 



(1)- \ 



— I du). 

 x"- 



Remarquons qu'au premier membre de (1) la somme est une 

 fonction ^aeVe de .r; on vérifiera, du reste, facilement que c'est 

 la méme chose pour le second membre de la méme formule. 



Supposons maintenant que x designe une quantité reelle, 

 située entre deux multiples impairs consécutifs de ;r, savoir: 



(+ 2s — 1 ) ;r < a; < (4; 2s + 1 ) ;r , 

 s étant un entier plus grand que l'unité. 



Pour determiner la valeur de l'intégrale qui figure a (1), 

 supposons en premier lieu x positif^ et divisons en plusieurs 

 autres l'intervalle depuis a> = O jusqu'a co = x^ savoir : 



I" depuis ft> == O jusqu'a w = ;r — oi 



90 „ a) = {2(i—\)7:—åq .. a> = (22— l)7r4-£<?, </ = 1, 2, 3, ... 

 3° " (o = {1q—\)7:+eq " g> = (2(?+l)7r— ^^^.i , c? -= 1, 2, 3, ... 

 4° » &» = (2s — l)7r+£s » co = x. 



Dans ces intervalles, toutes les quantités <?„ e, désignent des 



2 



1, 



