60 Niels Nielsen. Note sur les développements schlæinilchiens. 



ce qui est la formule cherchée, valable dans les cas suivants : 



1° di(fjt — 2r) > —1, (+2s-l);r < x < (4-2s+l);r, 

 8 étant un entier plus grand que un. 



2° ic = 4-(2s+l)7r, 9i(/^ — 2r) > 4-i. 



3° s = O, le second memhre de (4) n'a pas de seni^; dans 

 ce cas, la serie aura dans tout l'intervalle une somme egale å 

 zéro, pourvu que '^(p. —2r) > — a. 



Ces resultats nous fournissent un nioyen de poursuivre la 

 fonction discontinue représentée par la somme de la serie in- 

 finie (4) quand nous faisons varier x. Nous verrons que celte 

 fonction saute brusquement quand x dépasse un multiple impair 

 de Tt, cette valeur rendant ou non la fonction infmie. 



En effet, posons x = {2q-\-\)7T -{- si, la somme de notre 

 serie représentera une nouvelle fonction différente de celle 

 qu'elle vient de representer pour l'argument x = (2q^\)Tr — e, 

 £ et £i étant deux quantités positives finies, mais aussi petites 

 qu'on le veut. Dans Tintervalle depuis x = (2q-]-i) tt -\- e^ 

 jusqu'a X = (2q^'i)7i — s., [oii la serie est uniformément con- 

 vergente), la somme représente une fonction continue pour 

 sauter de nouveau brusquement quand x dépasse la valeur 

 critique suivante, x =^ {2q~Z)7r, et ainsi de suite. 



Remarquons ici que iM. G ubier a fait voir que la raison 

 de la discontinuité bien connue de l'intégrale 



X 



\J"{x} J^[cx) dx , 

 t)o 



doit aussi étre cherchée dans un alternat de fonction; voir a 



ce sujet l'article de M. Gubler: Ueher ein diskontlnuirliches 



Integral, Mathematische Annalen^ t. 48, p. 48, ou bien le bel 



ouvrage de MM. Graf et Gubler: Einleitung in die Theorie 



der Bessel'schen Funktionen, II Heft. p. 148, Bern 1900. 



Copenhague, le 23 janvier 1900. 



