Géométrie des droites dans l'espace non euclidien. 309 



On suppose déterminée par le grand cercle a et un de ses 

 points, P, la figure invariable qui participe aux rotations. Dans 

 la premiere de ces rotations (a, a), a glisse sur lui-méme et P 

 arrive jusqu'en P^, de fagon que PPi = a. 



Dans la seconde rotation {y. C), a arrive jusqu'en a^ et 

 Pi jusqu'en P^ (sur a^\, de sorte que (t/rtj = y. 



Dans la rotation (p', b), h glisse sur lui-méme, et, invariable- 

 ment lié a ce dernier, a-^ laccompagne jusqu'a la position a^; 

 C et supposé arriver ainsi en C^, comme Po en P^. a^ coupe 

 é, non seulement en Cj, mais encore en C«. Or, si Ton veut 

 ramener a sa position premiere la figure, déterminée par o., et 

 P3, au moyen des rotations successives (— i^,^), ( — C^, C), 

 ( — «!,«), il faudra que Cj ou bien Co arrive jusqu'en C par 

 la rotation ( — Z)j, i). 



Or, C^C = — /9 et C, C = — 180°— /9, on «, ou: 

 10 jj = ^ OU 20 61 = /9^180°. 



Au premier cas, on a ensuite C.^ = y^ ^'i == «• 



Dans le second cas, la rotation ( — ^1,^) améne C^ en C 

 et a.2 en «2S de sorte que (aai^) = 2 C — ;-, (aa^M désignant 

 l'angle dont il faut tourner a autour de C pour étre amené 

 sur a^. 



En conséquence, on a C-^ = 2C — ;- et «i = a + 180°. 



Nous avons done prouvé que les elements A — Jj, c — c^, 

 B — .Bj, a — a^, C— Cj, h — h^ appartiennent ou au A A^^B^^C.^ 

 ou au A^2-^2^2S d'oii suit que ce sont toujours des elements 

 d'un triangle sphérique. 



La proposition qu'on vient d'établir est appelée dans ce 

 qui suit le théoreme des rotations. 



Or peut aisément étendre cette proposition en étudiant un 

 polygone sphérique au lieu d'un triangle sphérique. 



