Géométrie des droites dans l'espace non euclidien. 313 



En effet, si Ton a deux de ces figures F^ et F2, les grands 

 cercles par rapport anxquels F^ et F^ sont symétriques de P, 

 se couperont au point de rotation de F^^ et de F^ , et si Fon 

 construit des figures nouvelles, symétriques de P par rapport 

 aux différents grands cercles passant par ce point de rotation, 

 on obtient un systéme qui forme une droite ayant ce point 

 directeur. Construit -on une figure U, symétrique de P par 

 rapport au centre de la sphére, on arrive , dans l'espace con- 

 sidéré, å une figure dont les distances å toutes les figures for- 

 mant le plan [A^A^A.^] sont de 90°. 



Le plan est done le lieu de tous les points dont 

 les distances å un point donné sont de 90°. 



Appelons U le pole du plan, et ce dernier le plan polaire 

 de U. On appelle P la figure opposée du plan. 



Deux droites quelconques du plan se coupent 

 to uj o urs en un point, et seulement en un point. 



Tra^ons le grand cercle qui joint les points directeurs des 

 droites: la figure symétrique de Ppar rapport a ce grand cercle 

 doit alors appartenir aux deux droites, et, d'aprés la definition 

 de nos droites, deux d'entre elles ne peuvent jamais avoir de 

 commun plus d'un seul point. 



C'est pourquoi ce plan constitue un plan riemannien. 



8. Deux plans se coupent toujours suivant une droite; 

 car toutes les figures de la sphére , situées symétriquement 

 aux figures opposées des deux plans constituent une droite 

 ayant son point directeur dans le point de rotation des figures 

 opposées. 



Il en résulte que, dans un plan, le lieu géométrique des 

 points qui ont 90° pour distance a un point fixe, est une droite, 

 appelée ijolaire du point. De plus et inversement, toute droite 

 du plan aura un pole correspondant. Deux droites du plan 

 passant par le pole Tune de l'autre, sont perpendiculaires Tune 

 k l'autre. Trois points du plan , A , B et C, déterniinent un 



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