Géométrie des droites dans l'espace non euclidien. 317 



espéce peuvent étre amenées a se superposer par le fait qu'une 

 figure quelconque de Tun des systémes est amenée sur une 

 figure quelconque de l'autre systéme. Cela montre que deux 

 droites paralléles de la 2® espéce forment des angles égaux 

 avec chaque droite qui les coupe Tune et l'autre. Ensuite, la 

 méme considération montre que, par un point de l'espace, on 

 peut tracer une droite seule , paralléle de la 2® espéce a une 

 droite donnée. 



Toutes les droites coupant deux paralléles de la 2^ espéce 

 ont leurs points directeurs dans un grand cercle perpendiculaire 

 au milieu de l'arc de grand cercle qui joint les points directeurs 

 des deux paralléles. 



Deux droites paralléles de la 2® espéce peuvent étre amenées, 

 sur la spilere fondamentale, a se superposer par une rotation 

 effectuée autour du pole de l'arc qui joint les points directeurs 

 et egale a la distance sphérique de ces derniers. Par consé- 

 quent: 



Deux droites paralléles de la 2® espéce ont partout la 

 méme distance, et celle-ci est la moitié de l'angle des droites. 

 Il est immédiatement evident que les droites paralléles de la 

 V^ espéce ont partout la méme distance; mais l'angle de ces 

 droites est nul. 



Toutes les droites qui coupent a angle droit deux paralléles 

 de la 2^ espéce, sont paralléles de la P® espéce (ayant un point 

 directeur commun dans le pole du grand cercle qui joint les 

 points directeurs des deux droites). 



Deux droites peuvent étre situées de maniére a pouvoir 

 étre considérées comme paralléles tant de la F® espéce que de 

 la 2®; on les appelle alors })olaires réciproques. Si une droite 

 donnée sur la sphére fondamentale tourne de 180" autour d'un 

 point qui a 90° pour distance sphérique au point directeur de 

 la droite, on obtient la polaire de la droite donnée, 



Chaque point de l'une de deux polaires réciproques est Ji 

 90° de chaque point de l'aulre. 



13 



