320 Johannes Petersen. 



(Iroites a^ et 6, , paralléles respectives de la 1'^ espéce 

 h a et k b , l'angle forme par «, et b^ sera egal a la 

 somme des distances de a a b. 



Nous avons ensuite å prouver la proposition correspondante 

 sur les paralléles de la 2® espéce. 



2° Si l'on a deux droites quelconques a et b et 

 que, par un point de l'espace, on fasse passer les 

 droites »2 fité^, paralléles de la 2^ espéce respective- 

 ment h a et h b, l'angle forme par «._, et b^ sera egal 

 å la difference des distances de a a b. 



L'une des distances de a k b est supposée rencon- 

 trer ces derniéres aux points A et B (représentés comme 

 ci-dessus par des figures sphériques). Les points directeurs 

 (sur la sphére) relatifs h a el h b sont appelés A et B. A-t-on 

 un point arbitraire C, par lequel on fait passer a.^ ^^ ^a? pj^i'al- 

 léles de la 2® espéce k a et li b, on obtient les points direc- 

 teurs A.^ et B., respectivement de a.^ et de b^^ en faisant 

 suivre, sur la sphére, ^ et iS invariablement liés aux figures 

 respectives A et B, ces derniéres étant supposées avoir atteint 

 par rotation la position C. Alors l'arc du grand cercle A^B^ 

 est egal a l'angle forme par a^ et b^. En laissant A invariable- 

 ment lié a A, en amenant cette figure sur C, on obtient done 

 A^', si l'on tourne ce point invariablement lié a C jusqu'a 

 amener cette figure sur B, on obtient un point ^3, en sorte 

 que ^. A^B^ = A.^B. Toutefois on pourrait aussi arriver a 

 ^3 en laissant A invariablement lié a A, celui-ci étant amené 

 sur B, et comme cette rotation fait mouvoir A sur le grand 

 cercle AB, on obtient 



ia^b^) = (A^B^) = {A.^B) =^ (AB) — 2{m. 



Mais, {AB) étant egal a la somme des distances de la droite 

 a å la droite 6, il en résulte que nous trouvons {a.,b^) egal 

 a la difference de ces distances. 



Ce qui démontre la proposition. 



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