Géométiie des droites dans l'espace non euclidien. 321 



Si Ton a dans l'espace iin systéme arbitraire de droites a, 

 &, c ... et que, par iin point fixe quelconque, on fasse passer 

 I'' des droites a^, b^, c^ ..., paralléles de la P^ espéce aux 

 droites données, et, 2*^ des droites «2) ^25 ^2 •••5 paralléles 

 de la 2^ espéce aux droites données, on peut appliquer å chacun 

 des faisceaux formes ainsi (a^biC^ . . .) et (a^b^c, . . .) les rela- 

 tions que nous a fait connaitre la géométrie sphérique et qui 

 existent entre les angles formes mutuellement par des droites 

 passant par un méme point. INous avons alors la proposition 

 que voici: 



Les angles d'une figure de droites et les para- 

 metres correspondants de cette méme figure satisfont 

 aux mémes relations identiques. 



Entre les elements de la figure de droites il n'y a pas 

 d'autres relations identiques que celles qui résultent de ce prin- 

 cipe. C'est que les droites a^ et «., déterminent univoque- 

 ment a (conformément a la convention du n^ 13). 



Nous venons de démontrer que la géométrie des droites 

 de l'espace elliptique est identique a celle des paires de points 

 sur la sphére. Si nous faisons consister chaque paire de points 

 en deux points infiniment peu distants, on aboutit a l'exposition 

 de la géométrie euclidienne des droites. 



Composition de rotations dans l'espace elliptique. 



16. Considérons maintenant le mouvement d'une figure 

 invariable dans un espace elliptique. On définit la figure in- 

 variable line figure mobile o\\ les distances mutuelles des 

 points sont constantes (méme par rapport aux signes). 



Voici les mouvements les plus simples dans l'espace con- 

 sidéré : 



P La translation de la F"^ espéce, c'est-k-dire le mouve- 

 ment OU toutes les trajectoires sont des droites paralléles de 

 la i'^ espéce. Ce mouvement est identique a une rotation, sur 



17 



